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不等式选讲知识点一：绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤ |a－b|+ |b－c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立．知识点二：绝对值不等式的解法1．不等式|x|a的
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二 一般形式的柯西不等式教学目标
未知
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关键词：二 一般形式的柯西不等式教学目标
正文
不等式选讲
知识点一：绝对值三角不等式
1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，
当且仅当 ab≥0时，等号成立．
2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤ |a－b|+ |b－c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立．
知识点二：绝对值不等式的解法
1．不等式|x|
不等式
{x|x≠0} a<0 ∅
R 2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
(1)|ax＋b|≤c⇔-c≤ax＋b≤c；
(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤-c或ax＋b≥c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
巩固专区：典例
[例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析：由|x+1|+ |x+3|≥|（x+1）-（x+3）|=2，故y的最小值2。
[例2].不等式|2x-1| x>0，即x<2，2 ，∴解集为{x|0 [例3].(2012·肇庆模拟)|x|－2|x|－15>0的解集是________． 解析：∵|x|－2|x|－15>0，∴|x|>5或|x|<－3(舍去)，∴x<－5或x>5. 答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞) [例4].若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3| 解析：由绝对值不等式的性质知，|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，所以函数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值为1， 又因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) [例5].(2012·湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________． 11解析：原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|，两端平方后解得12x＞3，即x＞.答案：xx>442 方法总结(一)： 1.不等式|x－a|＋|x－b|≥c的解就是数轴上到A(a)，B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解． 2．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|. [例6] (2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. 1 (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围． －2x＋5，x≤2，解：(1)当a＝－3时，f(x)＝1，2＜x＜3，2x－5，x≥3. 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x＜3时，f(x)≥3无解； 当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}． (2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|,⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[－3,0]． 在本例条件下，若f(x)≥3对一切实数x恒成立，求a的取值范围． 解：∵f(x)＝|x＋a|＋|x－2|， ∴f(x)≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|. 由条件知|a＋2|≥3，即 a＋2≥3或a＋2≤－3， ∴a≥1或a≤－5. 即a的取值范围为(－∞，－5]∪[1，＋∞)． 方法总结(二)： 1.形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的常用解法： (1)零点分段讨论法，其步骤为： ①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值． (2)用|x－a|±|x－b|的几何意义求解． (3)数形结合，作出y＝|x－a|±|x－b|的图象，直观求解． [例7]．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|. (1)作出函数y＝f(x)的图象； (2)解不等式|x－8|－|x－4|>2. 4， x≤4，解：(1)f(x)＝－2x＋12， 4 2 图象如下：(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2. 由－2x＋12＝2，得x＝5. 由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)． [例8].(2015·延边质检)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|＋a. (1)当a＝0时，解不等式f(x)≥6； 2 (2)若不等式f(x)≥3a对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围． [自主解答] (1)当a＝0时，求得 13f(x)＝4，－≤x≤，2234x－2，x>，21－4x＋2，x<－，2所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 13(2)法一：f(x)＝4＋a，－≤x≤，2234x－2＋a，x>221－4x＋2＋a，x<－，2 2由f(x)≥6⇒x≤－1或x≥2. 的最小值是4＋a. 要使不等式f(x)≥3a恒成立，只要4＋a≥3a， 44解得－1≤a≤.所以a的取值范围是－1，. 33法二：因为|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4. 所以f(x)min＝4＋a， 要使f(x)≥3a对一切实数x恒成立，只要4＋a≥3a， 44－1，解得－1≤a≤.所以a的取值范围为. 33方法总结(三)： 1.对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题，利用绝对值不等式的性质更方22 3 便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值． [例9]．(2012·长春模拟)设函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|，x∈R. (1)解不等式f(x)≤5； (2)若g(x)＝1的定义域为R，求实数m的取值范围． f(x)m1x<，解：(1)原不等式等价于24－4x≤5 13≤x≤，2或22≤5 3x>，或24x－4≤5， 19因此不等式的解集为－，. 44(2)由于g(x)＝1的定义域为R，则f(x)＋m＝0在R上无解． f(x)m又f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|≥|2x－1－2x＋3|＝2，f(x)的最小值为2， 所以－m<2，即m>－2，m的取值范围为(－2，＋∞). [例10].(2012·长春调研)已知f(x)＝1＋x，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|. 证明：∵|f(a)－f(b)|＝|1＋a－1＋b| ＝|a－b|1＋a＋1＋b222222＝2|a－b||a＋b|1＋a＋1＋b2222， 22又|a＋b|≤|a|＋|b|＝a＋b<1＋a＋1＋b， ∴|a＋b|1＋a＋1＋b22<1. ∵a≠b，∴|a－b|>0. 方法总结(四)： 1.含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值不等式性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 2[例11]．设函数f(x)＝x－2x，实数a满足|x－a|<1.求证：|f(x)－f(a)|<2|a|＋3. 证明：法一：∵f(x)＝x－2x， ∴|f(x)－f(a)|＝|x－2x－a＋2a| ＝|(x－a)·(x＋a－2)| ＝|x－a||x＋a－2|<|x＋a－2| ＝|(x－a)＋2a－2| ≤|x－a|＋|2a－2|<1＋2|a|＋2＝2|a|＋3， 222 4 ∴|f(x)－f(a)|<2|a|＋3. 法二：|f(x)－f(a)|＝|x－2x－a＋2a| ＝|x－a|·|x＋a－2|<|x＋a－2|≤|x|＋|a－2| ≤|x|＋|a|＋2<|a|＋1＋|a|＋2＝2|a|＋3. (∵|x－a|<1，∴|x|－|a|<1，即|x|<|a|＋1) ∴|f(x)－f(a)|<2|a|＋3. 知识点三：不等式证明 1.比较法 (1)求差比较法： 知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b，只要证明a－b＞0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法： aa由a＞b＞0⇔＞1且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时要证明a＞b，只要证明＞1即可，这种方bb法称为求商比较法． 2.分析法 从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． 3.综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法． 4.放缩法 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法． 5.反证法的步骤 (1)作出否定结论的假设； (2)进行推理，导出矛盾； (3)否定假设，肯定结论． 6.柯西不等式的二维形式 (1)柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1a2b2)(当且仅21222122222当a1b2＝a2b1时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. (3)三角形不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么(x1x2)(y1y2)7.柯西不等式的一般形式 22(x2x3)(y2y3)22(x1x3)(y1y3) 22n2n2n2设n为大于1的自然数，ai，bi(i＝1,2，...，n)为任意实数，则∑ai∑bi≥(i∑aibi)，其中等号当i＝1i＝1＝1b1b2bn且仅当＝＝…＝时成立(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)． a1a2an 5 8.算术——几何平均不等式 a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an.(a1，a2，…，an∈R＋) n116x[例12]．(教材习题改编)若x>1，则函数y＝x＋＋2的最小 xx＋1 值为________． 116x116解析：y＝x＋＋2＝x＋＋≥216＝8，当且仅当x＝2＋3时等号成立．答案：8 xx＋1x1x＋x[例13]．(教材习题改编)已知a，b是不相等的正数，x＝ y＝ a＋b.则x，y的大小关系是________， 2a＋b， 211111222解析：∵x＝(a＋b)＝(a＋b＋2ab)，y＝(a＋b)＝(a＋b＋a＋b)≥(a＋b＋2ab)． 44244又x>0，y>0，且x≠y，∴y>x，y>x. 答案：y>x 111111[例14]．已知a，b，c∈R＋，则＋＋与＋＋的大小关系是________________． abcabbcac11解析：因为＋≥2 ab111，＋≥2 abbc111，＋≥2 bcac1， ab22111111111111三式相加可得＋＋≥＋＋.答案：＋＋≥＋＋. abcabcabbcacabbcac[例15]．已知关于x的不等式x＋4≥3，在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________． x－a44解析：∵x＋＝x－a＋＋a≥24＋a＝4＋a，∴a＋4≥3，∴a≥－1.答案：－1 x－ax－a方法总结(五)： 1.综合法与分析法的内在联系 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，用分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程． 2．放缩法证明不等式的主要理论依据 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为不等量； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较． [注意] 放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出． 3．柯西不等式的形式特点 从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”． 6 [例16].(2014·唐山模拟)已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M； (2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|. 解:(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1| －2x，x<－1，＝2，－1≤x≤1，2x，x>1. 2 当x<－1时，由－2x<4，得－2 当－1≤x≤1时，f(x)＝2<4； 当x>1时，由2x<4，得1 (2)证明：a，b∈M，即－2 ∴4(a＋b)－(4＋ab)＝4(a＋2ab＋b)－(16＋8ab＋ab)＝(a－4)(4－b)<0， ∴4(a＋b)<(4＋ab)， ∴2|a＋b|<|4＋ab|. [例17]．求证：当a，b∈(0，＋∞)时，ab≥(ab)ab222222222ab2. 证明：ab(ab)abab2aab2bba2(a)bab2 a当a＝b时，()bab2＝1. ab2aaa－b当a>b>0时，>1，>0，则()b2b>1. ab2aaa－b当b>a>0时，0<<1，<0，则()b2bab>1. ab2综上可知， 当a，b∈(0，＋∞)时，ab≥(ab)成立 1[例18].(1)(2012·南通模拟)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋22≥2y＋3； x－2xy＋y (2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3. 证明：(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋12－2y＝2(x－y)＋x－2xy＋y21x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋ 7 1x－y32≥3 x－y21x－y2＝3， 1所以2x＋22≥2y＋3. x－2xy＋y(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥ 3， 只需证明(a＋b＋c)≥3. 即证：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需证明：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. a＋bb＋cc＋a而ab＋bc＋ca≤＋＋ 222＝a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立． ∴原不等式成立． 在本例(2)的条件下证明： a＋ bc证明：∵ b＋ aca＋ bcc≥ 3(a＋b＋c)． abb＋ acca＋b＋c＝， ababc2222222222222222222又本例(2)已证a＋b＋c≥ 3， ∴只需证明≥ a＋ b＋ c， abc1即证明abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca， ab＋acab＋bcac＋bc而abc＝ab·ac≤，bac≤，cab≤， 222∴abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca成立，∴原不等式成立． 方法总结(六)： 1.比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断正负． 2.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆． 111111[例19]．设a，b，c均为正数，求证：＋＋≥＋＋. 2a2b2cb＋cc＋aa＋b证明：∵a，b，c均为正数， 11111∴＋≥≥，当a＝b时等号成立； 22a2b2aba＋b 8 11111＋≥≥，当b＝c时等号成立； 22b2c2bcb＋c11111＋≥≥，当a＝c时等号成立． 22c2a2cac＋a111111三个不等式相加即得＋＋≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 2a2b2cb＋cc＋aa＋b115[例20].(2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜. 3618[自主解答]证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|， 112155由题设知|x＋y|＜，|2x－y|＜，从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜. 3636618方法总结(七)： 1．在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： 11111212(1)变换分式的分子和分母，如2＜，2＞，＜，＞.kkk－1kkk＋1kk＋k－1kk＋k＋1上面不等式中k∈N，k＞1； (2)利用函数的单调性； aa＋m(3)真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则＜”． bb＋m2．在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度． |a＋b||a||b|[例21]．(2014·临沂模拟)若a，b∈R，求证：≤＋. 1＋|a＋b|1＋|a|1＋|b|证明：当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时， 由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒11≥， |a＋b||a|＋|b|*|a＋b|11|a|＋|b||a||b|所以＝≤＝≤＋. 1＋|a＋b|111＋|a|＋|b|1＋|a|1＋|b|＋11＋|a＋b||a|＋|b|[例22].(2012·福建高考)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； 111(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. a2b3c解:(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m， 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. 111(2)证明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋a2b3c 9 111(3c)＋＋≥a2b3c方法总结(八)： 1a.a2b.12b13c.)3c＝9. 21．使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． 2．利用柯西不等式求最值的一般结构为： 11222122(a1＋a2＋…＋an)2＋2＋…＋2≥(1＋1＋…＋1)＝n.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数ana1a2且应注意等号成立的条件． [例23]．已知x，y，z均为实数， (1)若x＋y＋z＝1，求证：3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33； (2)若x＋2y＋3z＝6，求x＋y＋z的最小值． 解：(1)证明：因为(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)≤(1＋1＋1)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27， 21所以3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33，当且仅当x＝，y＝，z＝0时取等号． 33182222222222222(2)因为(1＋2＋3)(x＋y＋z)≥(x＋2y＋3z)＝36，即14(x＋y＋z)≥36，x＋y＋z≥， 736918222当且仅当x＝，y＝，z＝时取等号．所以x＋y＋z的最小值为. 7777 2222222 10
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