二 综合法与分析法优质课教案内容

综合法与分析法教学设计

融安县高级中学

黄翠芳

【教材分析】直接证明的两种方法——综合法和分析法是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确的利用演绎推理来证明问题。本节课是证明的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤。本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，因尽量选择学生熟悉的例子。

【教学目标】

1．知识与技能

（1）了解直接证明的两种基本方法之一综合法。

（2）了解综合法得思维过程和特点。

2．过程与方法

（1）通过对实例的分析，归纳与总结，增强学生的理解思维能力。

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题，解决问题的能力。

3．情感，态度与价值观

通过本节课的学习了解直接证明的基本方法——综合法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，使学生养成言之有理，论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。

【教学重难点】

重点：综合法的思维过程及特点；

难点：综合法的应用。

【学法指导】遵循中学生的心理特征及认知规律，本节课采用高效课堂教学模式，把学生分成七个小组，通过自主探究与合作探究相结合的学习方法，让学生真正成为学习的主人，感受数学学习的成功与快乐·

【教学过程】

探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：

已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

证明:因为bc2bc,a0，

所以a(bc)2abc。

因为ca2ac,b0，

所以b(ca)2abc。

因此

a(bc)b(ca)4abc。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的2222222222222222

结论成立，这种方法叫做综合法。

探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论

Q 出发，反推回去，寻求保证

Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……

直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例如：基本不等式

要证

abab

（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。

2abab，

2只需证

ab2ab，

只需证

ab2ab0，

只需证

(ab)20

由于(ab)20显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。

（三）、分析归纳，抽象概括

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：

PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

分析法可表示为：QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的特点是：执果索因

知识应用，深化理解

例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,

a,b,c成等比数列,求证△

ABC为等边三角形. 分析：将

A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =；

a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是b2ac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由

A, B, C成等差数列，有

2B=A + C ．

①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以

A + B + C=．

②

由①②

，得

B=．

③

32由a, b，c成等比数列，有

bac．

④

由余弦定理及③，可得

b2a2c22accosBa2c2ac．

22再由④，得

acacac．

即

(ac)20，

因此

ac．

从而

A=C．

由②③⑤，得

A=B=C=所以△ABC为等边三角形．

注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例2、求证3725。

分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。

证明：因为37和25都是正数，所以为了证明

．

33725，

只需明 (37)2(25)2，

展开得

1022120，

只需证

215，

因为2125成立，所以

(37)2(25)2 成立。

在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例3 、已知,k‘‘‘‘2(kZ)，且

sincos2sin ① sincossin2

② 1tan21tan2求证：。

1tan22(1tan2)分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系(sincos)22sincos1，于是，由

①一2×②

得24sin22sin21．把4sin22sin21与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为

1(cos2sin2),再与4sin22sin21比较，发现只要把

21cos2sin2(cos2sin2)中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．

2cos2sin2证明：因为(sincos)2sincos1，所以将

①

②

代入，可得

24sin22sin21. ③

另一方面，要证 1tan21tan2，

1tan22(1tan2)

sin2sin2112cos2cos即证

， sin2sin212(1)cos2cos2即证 cos2sin2即证 1(cos2sin2)，

212sin21(12sin2)，

2即证 4sin22sin21。

由于上式与③相同，于是问题得证。

【当堂检测】

1、已知p:ab0;q:ba2,，则

(

)

abA．P是q的充分而不必要条件

B．P是q的必要而不充分条件

C．P是q的充要条件

D．P是q的既不充分也不必要条件

2、命题：函数f(x)xxlnx在区间（0，1）上是增函数“的证明过程”对函数f(x)xxlnx求导得f/(x)xlnx,当x∈（0，1）时，f/(x)lnx0,故函数f(x)在区间（0，1）上是增函数：应用了

的证明方法. 3、ABC在平面外，AB=P,BCQ,ACR.求证：P,Q,R三点共线. 4、求证：3725.