一 数学归纳法ppt课件课堂实录

《数学归纳法》教案 (第一课时) 教学目标:

根据大纲的规定和教材的内容,结合学生已有的认知水平,确定本节课的教学目标为: 知识目标: 理解"归纳法"和"数学归纳法"的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用"数学归纳法"证明简单的恒等式.

能力目标: 初步掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质. 情感目标：

培养学生对于数学内在美的感悟能力

教学重点:

使学生理解数学归纳法的实质,掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用) 教学难点

如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设

教学方法

引导发现法,感性体验法

学生学法

让学生初步掌握归纳推理的方法,养成自主思维,主动发现的学习习惯

教学过程设计

新课引入: 1.多米诺骨牌实验引课: 在讲课之前,我们先做一个有趣的实验,……

大家看到了,我用手指轻轻一碰,第一块骨牌就倒下了,第一块倒下碰到第二块,第二块也随之倒下,第二块碰着第三块,第三块也倒下,……这样呢,一块接着一块,正如我们意料中的一样,所有的骨牌都倒下了,事实上,在推第一块骨牌之前,我们就知道这些骨牌都会倒下,那么我们是凭什么作出这样的判断呢

因为我们知道,…每一块骨牌倒下会碰到后一块骨牌,使后一块骨牌也倒下,以此类推,就所有的骨牌都会倒下了,其实上,这个原理与今天要学习的数学<>归纳法的原理是一样的.(板书:数学<>归纳法) 2.什么叫归纳法

简单地说是一种"由特殊到一般"的推理方法.

先讲一个笑话:"从前,有个财主给他的儿子找了一个老师,第一天老师划了一横,说这是一个"一"字,第二天老师划了两横,说这是一个"二"字,到了第三天,财主儿子想今天老师一定会教"三"字,就预先在纸上划了三横,果然这天先生划了三横,说这是"三"字.于是财主儿子就得出了一个结论:第四天,第五天,……那一定是四横,五横……所以就对财主说:"爸爸,你用了着请老师了,我什么都会了."于是财主很高兴,就把老师给辞退了.过了几天,财主要请一个姓万的亲戚吃饭,就叫儿子写请贴,可是等了半天,也不见儿子出来,财主就亲自到房间去催,只见儿子趴在地上,满头大汗,一见到财主就抱怨说:"什么不好姓,干么姓万,从大清早到现在,我才划了五百多横呢

" 这虽然是一则笑话,可财主的儿子怎么会得出"第四天,第五天,……那一定是四横,五横……"的结论呢

这里用的就是"归纳法",不过,这个归纳推出的结论显然是错误的罢了. 再看几个问题:

问题1:今天,据观察第一个到学校的是男同学,第二个到学校的也是男同学,第三个到学校的还是男同学,于是得出:这所学校里的学生都是男同学.

问题

2:数列{an}的通项公式为an=(n2-5n+5)2,计算得

a1=1,a2=1, a3

=1, 于是猜出数列{an}育星教育网——中学语文资源站（www.ht88.com）资源，未经授权，禁止用于任何商业目的。

的通项公式为:an=1.

问题3:三角形的内角和为180°,四边形的内角和为2 180°,五边形的内

角和为3 180°,于是有:凸n边形的内角和为(n-2) 180°.

问题4:数列为{1,2,4,8},则它的通项公式为an=2n-1(n≤4,n∈N )

请问:以上四个结论正确吗

为什么

得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点

小结概念:归纳法,由特殊到一般的思维过程,从有限的特殊事例中得出一般的结论. 二,新课:

归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法,那么什么是不完全归纳法

那么什么是完全归纳法

打个比方吧,有一箱苹果,我拿了三个来尝一尝,是甜的,于是我得出了结论:这箱苹果是甜的.这是不完全归纳法.如果我把整箱苹果每一个都咬一口,结果每一个都很甜,从而我也得出了结论:这箱苹果是甜的.这是完全归纳法.现在大家可以知道什么是不完全归纳法

什么是完全归纳法了吧,我们把这个问题放地高一点来理解,如果我们要研究的对象组成一个集合,现在我们只考察集合中有限的几个元素,就得出结论,这是不完全归纳法,如果考察了集合中的每一个元素,再得出结论,这是完全归纳法.

上面财主儿子识字问题是哪一种归纳法

(不完全归纳法),他的结论正确吗

(不正确)是什么导致了他结论不正确呢

(是因为他用的是不完全归纳法,他只考察了部分对象,部分不能代替全部.)

由此可见,用不完全归纳法从特殊几个事例中,归纳出一般性的结论只是一种猜想或估计,所得结论有可能是正确的,也可能是错误的.如果是正确的,应该想办法去证明,如果是错误的,就举反例去说明.

那么,完全归纳法得到的结论,是否一定是正确的

(正确)

完全归纳法要求验证所有的考察对象,对于"有限的"极少的情况尚可一一验证,而数量较大的情况,有时就很难办到了.对于"无穷尽的"情况,就不可能做到一一验证了.对于无穷尽的事例,常用不完全归纳法去发现规律,由此估计出结论,并设法给出证明.那么数学<>归纳法是什么方法呢

它解决什么样的问题

请同学们先自学教科书,结全看书,再思考以下问题: 2.数学归纳法

(学生自学教科书P -P ) [打出幻灯] 思考题:

(1)数学归纳法能证明什么样类型的命题

(2)数学归纳法有几个步骤

每一个步骤说明什么问题

(3)为什么这些步骤缺一不可

(4)数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法

(学生用十分钟的时间看书和思考上述问题) 师生学习交流过程: 师:现在大家已经看了书,也初步思考了问题,那么数学<>归纳法能证明什么样类型的命题

(学生回答:与自然数有关的一些命题)现在大家再看一个例题,围绕例题的全部内容,通过讨论, 检验每位同学的自学质量. [打出幻灯片] 例:由下表

1 =1=12

①

1+3 =4=22

②

1+3+5 =9=32

③

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1+3+5+7 =16=42 ④

…… ⑤

结论:1+3+5+…+(2n-1)=n2,(n∈N) ⑥

证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1 ⑦

等式成立

⑧

(2)假设当n=k(k ∈N)时,等式成立,即

⑨

1+3+5+…+(2k-1)=k2

⑩

则1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1) ⑾

=k2+(2k+1) =(k+1)2

⑿

当n=k+1时,等式也成立

⒀

根据(1)(2),可知等式对任意n∈N都成立.⒁

[先显示①至⑤] 师:由①至④,能得出什么结论

能不能猜想一下. 生1回答

师:对,由1开始,连续的n个奇数之和等于n的平方. 用数学<>式子表达为1+3+5+…+(2n-1)=n2,(n∈N) [显示出幻灯上的全部内容] 师:上面的例题中,哪一部分是属于数学<>归纳法

生2:例题中的全部过程是数学<>归纳法,前面是归纳部分,后面是证明部分. 生3:只有后面的证明部分,就是从⑦到⑿是数学<>归纳法的全部内容. 师:对,从1至6,只是一种不完全归纳法,只是根据特殊几个事例中所提供的规律……,譬如三个奇数

之和等于32,得出一般性的结论6.但是,在这里我们要注意的是,不完全归纳法只是帮助我们去探

索某个问题的手段和方法,至于所得出的结论是否正确,还得证明.在这里我们是用数学<>归纳法来证

明这个命题.等式6是与自然数n有关的命题,为了方便起见,记为命题P(n),P(n)也可以理解为是

编了号的命题,第1 号命题为P(1),第2号命题为P(2),…… 第k号命题为P(k),第k+1号命题

为P(k+1)……等式6是指所有编了号的命题都成立,即对于任意自然数n,命题P(n)都成立,等式6是一个恒等式. 数学归纳法有几个步骤

每个步骤从哪里到哪里

学生讨论回答: 师:同学们说的都很对,那么证明的第一步说明了什么呢

生5:通过验证,说明第1号命题是正确的. 生6:说明归纳是有基础的. 师:对,验证命题P(n)中的第1号命题是成立的,在这里初始值n0=1,有时命题P(n)中,n是从2或从3开始的,反正是从n的最小值开始.确切地说第一步就是验证初始命题P(n0) 是否成立,说明这是归纳的基础,起着奠基的作用.那么,证明的第二步又说明了什么

第二步中"当n=k+1时"的证明可否改换为:1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)= (k+1)2

为什么

生7:假设当n=k时,等式成立;证明n=k+1时,等式也成立. 师:那么,当n=k时等式到底成立还是不成立

学生讨论,回答(成立) 师:

既然成立,何必用"假设"两个字呢

就用"设"或"已知"得了. 生：8:n=k时,等式成立不成立,不是第二步的任务,第二步的任务是:假设当n=k时等式成立,这么育星教育网——中学语文资源站（www.ht88.com）资源，未经授权，禁止用于任何商业目的。

说吧!假如,如果这一步是对的话,证明紧挨它的下一步也是对,嗨!就是说明这样的事实:只要这一步对,下一步也对! 生9:我同意他的看法,数学<>归纳法的第二步是证明命题P(n)具有递推性,它说明只要P(k)成立,那么P(k+1)也成立,是证明这么一种逻辑推理是成立的. 师:

同学们互相补充,认识越来越深刻了,触及到要害处了,第二步就是证明命题P(n)对自然数n具有递推性,解决命题中的编号n可无限延续的问题,这里应该严格用数学<>语言表达为:假设P(k)成立,则P(k+1)也成立.因此,"假设"两个字不能写成"设"或"已知",就连这个"也"字也具有深刻的含义.P(k)中的编号k又具有随意性,k代表任意自然数,只要k≥n0就可以了,至于P(k)是否真的成立, 确实不是第二步的任务. 那么,数学<>归纳法的第三步或结论部分16又说明什么呢

生: 把第一步与第二步连贯起来,通过验证P(1)成立,根据第二步的递推性,P(2)也成立;P(2)成立,P(3)也成立;P(3)成立,P(4)也成立;这样无限递推下去,命题P(n)对一切自然数n都成立,从而命题P(n)得到证明. 师: 讲得很好,有了奠基步,P(1)成立,对自然数n又有无限递推性,命题P(n)得到证明,尽管结论部分只有一句话,可不能省略,它表达了数学<>归纳法的完整性,把第一步(初始步)与第二步(递推步)辩证地统一起来. 数学归纳法的全部过程都已经分析了,那么,数学归纳法是属于不完全归纳法还是完全归纳法呢

生: 完全归纳法,由初始步,P(1)得证;由递推步,对一切n,P(n)得证,命题的全部情况都得到验证,所以是完全归纳法. 师: 对,就是这个道理,我们再用一点时间来讨论数学<>归纳法的第一步与第二步中能否省略一步

生: 不能,只有初始步,没有递推步,这样就变成不完全归纳法,只有递推步,没有初始步,即使具有无限递推性,但没有基础,这种递推就没有意义了,课本P 也有反例,所以,第一个步骤也不能缺少.当然,第二个步骤是工作量最多,也有一定难度的一个步骤,需要认真对待,我们下节课将专门讨论它. 小结:[打出幻灯片] 数学<>归纳法的基本形式: 设命题P(n),其中n∈N且n≥n0

(1)当n=n0(譬如n0=1或2等)时,证明命题P(n0)成立; (2)假设当n=k(k∈N且n≥n0)时命题P(k)成立,证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立; 根据(1),(2),命题P(n)对一切自然数n(n≥n0)都成立. 知识小结: 教师带领学生回顾并小结本节课. [打出幻灯片] 数学<>归纳法的基本形式: 设命题P(n),其中n∈N且n≥n0

(1)当n=n0(譬如n0=1或2等)时,证明命题P(n0)成立; (2)假设当n=k(k∈N且n≥n0)时命题P(k)成立,证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立; 根据(1),(2),命题P(n)对一切自然数n(n≥n0)都成立. 作业:略.

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