1.1 回归分析的基本思想及其初步应用名师教学设计1

1．1回归分析的基本思想及其初步应用（二）

教学目标

（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；

（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；

（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．

教学重点难点

线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．

教学过程

一、复习引入

1.一般地，建立回归模型的基本步骤为：

(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量. (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系

（如是否存在线性关系等）. (3)由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）. (4)按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）.1.刻划线性相关的两个变量间的关系的方法：

2. 刻划线性相关的两个变量间的关系的方法：

所求直线方程

ybxa

叫做回归直线方程；

nn(xix)(yiy)xiyinxyi1i1bnn2

22其中(xx)xnxiii1i1aybx

二、新课讲授

案例：女大学生的身高与体重

例1.从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示. 编号

体重/kg 1 2 3 4 5 6 61 7 155 43 8 170 59 身高/cm 165 165 157 170 175 165 48 57 50 54 64 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重. 对回归模型进行统计检验

假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相同.在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值，即8个人的体重都

为54.5kg. 体重/kg65在散点图中，所有的点应该落在同一条水平直线上，但是观测到

605550的数据并非如此.这就意味着预报变量（体重）的值受解释变量

4540身高/cm（身高）或随机误差的影响. 150155160165170175180如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上与解解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？

例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg.解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是

解释变量和随机误差的组合效应. 编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg.解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，这时解析变量

和随机误差的组合效应为-4.5kg. 用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应. 数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用(yy)ii1n2表示总的效应，称为总偏差平方和. 在例1中，总偏差平方和为354. 那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解释变量（身高）？有多少来

自于随机误差？

假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上.但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上.这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了.

因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异

yiyi

是随机误差的效应，称为残差. 例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：61(0.84916585.712)6.627

对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号

(yy)ii1n2表示，称为残差平方和，它代表了随机误差的效应. 在例1中，残差平方和约为128.361. 由于解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为128.361，

所以解析变量的效应为354-128.361=225.639这个值称为回归平方和. 解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是

R2(yy)in2(yy)ii1i1n12残差平方和

总偏差平方和R2(yy)(yy)2iii1i1nn2(yy)ii1n2总偏差平方和残差平方和回归平方和

总偏差平方和总偏差平方和离差平方和的分解（三个平方和的意义）

总偏差平方和(SST)

反映因变量的

n 个观察值与其均值的总离差. 回归平方和(SSR)

反映自变量

x 的变化对因变量

y 取值变化的影响，或者说，是由于

x 与

y 之间的线性关系引起的

y 的取值变化，也称为可解释的平方和. 残差平方和(SSE)

反映除

x 以外的其他因素对

y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和.

样本决定系数（判定系数

r2

）

1.回归平方和占总离差平方和的比例. r2ˆyyin2yyii1i1n1ˆyyin22ˆyyii1i1n2

2.反映回归直线的拟合程度. 取值范围在

[ 0 , 1 ] 之间.

r2

1，说明回归方程拟合的越好；

r20，说明回归方程拟合的越差

判定系数等于相关系数的平方，即r2＝(r) 2

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是

R2(yy)in2(yy)ii1i1n12残差平方和

总偏差平方和显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好. R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的

线性相关性越强）. 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型. 总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标.在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力.

来源平方和比例

225.6390.64随机误差

128.3610.36残差变量

3541总计从表中可以看出，解释变量对总效应约贡献了64%，即R2≈

0.64，可以叙述为“身高解

释了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随

机误差的效应大得多.

残差分析与残差图的定义：

在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据. 然后，我们可以通过残差

e1,

e2,

,en

来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析. 

下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据. 编号

身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 残差e

-6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.

残差图的制作及作用

坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意.

异残差8常身

高6点与4

体2重O1 2 3 4 5 6 7 8 9编号

残-2•错误数据差-4

•模型问题图-6-8

几点说明：

第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因. 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说

明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.

三、课堂小结

1、回归分析

从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统

计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著利

用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并

给出这种预测或控制的精确程度. 2、回归分析与相关分析的区别

（1）.相关分析中，变量

x

变量

y 处于平等的地位；回归分析中，变量

y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化

（2）相关分析中所涉及的变量

x 和

y 都是随机变量；回归分析中，因变量

y 是随机变量，自变量

x

可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量

（3）相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量

x 对变量

y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制

四、课后作业