复习参考题名师教学视频（文字实录）

第二章

随机变量及其分布列

------------小结与复习

一、教学目标

知识与技能：

进一步熟悉基本概念和方法，构建知识网络，强化知识间的联系，形成解题技能。

过程与方法：

通过典型的错例分析，达到加深概念理解，强化解题技能形成的目的；

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：基本概念和基本解题方法

难点：通过错题分析，提升解题能力；

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）温故知新

1.离散型随机变量及其分布列

(1)随机变量的定义可用下图表示：

①随机变量随着试验的结果变化而变化，“随机”地取值的，其对应关系可类比函数的定义域与值域.常见的随机变量的取值可以一一列出，称为离散型随机变量. ②在随机变量中，还有连续型随机变量，如某工厂生产的圆形零件的直径X，尽管规定的规格是确定的，但在实际操作中得到的结果是不确定的.显然这种随机变量的取值不可能一一列出来. ③随机变量X的取值x1,x2,

是和A中的随机事件A1,A2,第1页（共11页）

一一对应的；随机变量X中的每个取值

x1,x2,的概率P(Xx1)，P(Xx2),分别等于随机事件A1,A2,所发生的概率P(AP(A2),1)，，解题的关键是建立X与概率值之间的对应，列出分布列. (2)离散型随机变量分布列的性质：①pi0,i1,2,,n;②pi1. ③利用上述性质，可以检查分布i1n列的正误：若所有项的和为1，则这个分布列是正确的；也可以利用这条性质来求概率值：如果一个分布列中，有一个P(Xxi)运算繁琐，我们可以先计算除P(Xxi)之外其余的概率值，然后用1减去这些概率值即得P(Xxi). (3)求分布列的步骤：①首先确定随机变量X的所有可能值xi；②求出各个取值下的所有事件的概率值P(X=xi)=pi，常利用古典概型和概率的加法、乘法公式求解；③列出表格，即为分布列.④验证分布列中所有概率值的和是否为1. 2.条件概率、相互独立事件

精要总结：

条件概率是事件在一定附加条件下的概率，这里所说的“附加条件”是指除试验条件之外的附加信息，通常表现为“A、B事件有关联，已知事件A发生了，求事件B的概率”.设A和B为两个事件，在“B已发生的条件下，A发生的”概率P(A|B)=P(AB)/P(B). 条件概率的求法：①对于古典概型的题目,可采用缩小基本事件空间的方法来计算条件概率.如：甲、乙两车间各生产50件产品，其中分别含有次品3件与5件.现从这100件产品中任取l件，在已知取到甲车间产品的条件下，求取得次品的概率.基本事件空间总数为50,基本事件个数为3，则P=接根据条件概率公式求解. 而相互独立事件则是指事件B的发生对事件A是否发生没有影响.这种情况下，事件A、B同时发生的概率计算公式为P(AB)=P(A)P(B)，使用该公式时要注意区分“互斥事件”与“相互独立事件”的概念. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①确定各个事件是相互独立且会同时发生②先求每个事件发生的概率，③套用公式求这些事件同时发生的概率. 3.二项分布

精要总结：

独立重复试验必须满足两个特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验互相独立.独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果：发生与不发生、成功与失败等.独立重复试验的原型是有放回的抽样检验问题.但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验也可以近似地看作此类型. 第2页（共11页）

3.②其他问题直50

二项分布是一种建立在独立重复试验基础上的分布，是一种常见的离散型随机变量的概率分布.它的应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速的写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量每一个具体值对应概率的过程. 利用二项分布解决实际问题的关键在于判断实际问题给出的问题是否为二项分布模型.也就是看：题目的情景是否为n次独立重复试验；随机变量是否为n次独立重复试验中某事件发生的次数. 4.离散型随机变量的数学期望与方差

精要总结：

期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值但不同于相应数值的算术平均数.随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值相对于EX的稳定与波动、集中与离散的程度.DX越小，稳定性越高，波动越小. 一般的随机变量，通过如下公式求解其期望与方差。设离散型随机变量X的分布列为

X P 则EX＝x1p1x2p2x1

p1

xipix2

p2

…

…

nxi

pi

2…

…

xn

pn

xnpn，DX(xEX)ii1pi，X=DX. 若给出的模型满足如下分布，可直接套公式求解：若X服从两点分布，则EX＝ｐ，DXp(1p)；若随机变量X服从二项分布，即X~B(n,p)，则EX

np,DXnp(1p)；若随机变量X服从N，M，n的超几何分布，则EX=5.正态分布

精要总结：

正态曲线的特征：位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交；曲线是先增后减，以直线x为对称轴；曲线与ｘ轴之间的面积为1；σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”.

正态分布的取值：P(X)0.6826，P(2X2)

nM. N0.9544，P(3X3)0.9974. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(,)的随机变量X只取(3,3)之间的值，并简称之为3原则. （二）典例解析，深化理解，提升能力

第3页（共11页）

2

1．古典概型：（2014•新课标Ⅰ）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．

【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，

周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，

∴所求概率为故选：D．

【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．

2．几何概型：（2014•重庆）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为

（用数字作答）．

【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．

【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，

则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，=．

由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为故答案为：．

=，

第4页（共11页）

【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．

3.超几何分布：袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．

（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；

（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望．

【分析】（1）由题意，摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为，则可求采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，两球颜色不同的概率；

（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的期望．

【解答】解：（1）记“采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，两球颜色不同”为事件A，则

∵摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为，

∴P（A）==；

（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，则

P（ξ=0）=∴Eξ=0×=+1×+2；P（ξ=1）==．

=；P（ξ=2）==，

【点评】本题考查概率的计算，考查期望，正确理解变量取值的含义是关键．

4．二项分布：（2014•辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低第5页（共11页）

于50个的概率；

（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；

（Ⅱ）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．

【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”

B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，

因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，

P（A2）=0.003×50=0.15，

P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，

（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：

，

，

，

随机变量X的分布列为

X P

0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 第6页（共11页）

因为X～B（3，0.6），

所以期望E（X）=3×0.6=1.8，

方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．

【点评】在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法．

5.正态分布：从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差s2（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2

①利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记x表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数．利用

①的结果，求E(X) 附：15012.2，若Z～N（μ，σ2），

则p（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，

p（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

【分析】（1）由频率分布直方图能求出抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2．

（Ⅱ）（i）推导出Z～N（200，150），由此能求出P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）．

（ii）由一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，得X～B（100，第7页（共11页）

0.6826），由此能求出EX．

【解答】解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数为：

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，

样本方差s2分别为：

s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），

从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；

（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，

依题意知X～B（100，0.6826），

所以EX=100×0.6826=68.26．

【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查概率的求法，考查随机变量的数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

6．条件概率：（2014•新课标Ⅱ）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（

）

A．0.8

B．0.75

C．0.6

D．0.45 分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．

【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，

解得p=0.8，

故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．

7．独立性检验：（2015春•包头校级期末）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（

）

表1

成绩性别

不及格

及格

总计

男

6 第8页（共11页）

14 20

女

总计

表2 视力性别

10 16 22 36 32 52 好

差

总计

男

女

总计

表3 智商性别

4 12 16 16 20 36 20 32 52 偏高

正常

总计

男

女

总计

表4 阅读量性别

8 8 16 12 24 36 20 32 52 丰富

不丰富

总计

男

女

总计

A．成绩

B．视力

C．智商

14 2 16 D．阅读量

6 30 36 20 32 52 【分析】根据表中数据，利用公式，求出K2，即可得出结论．

【解答】解：表1：K2=表2：K2=表3：K2=表4：K2=≈1.769；

≈1.3；

≈23.48，

≈0.009；

∴阅读量与性别有关联的可能性最大，

故选：D．

第9页（共11页）

【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．

五、小结：

1.本章基本概念和基本方法

2.常见问题及解题思路

六、作业

课时检测

第10页（共11页）

第11页（共11页）