1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优质课一等奖教案

1.1回归分析的基本思想及其初步应用（1）

一、教学目标：

1.通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用．

2.让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用；通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法．

3.让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：理解回归分析的基本思想，掌握求回归直线方程的步骤以及对随机误差e的认识．

难点：掌握利用回归分析的基本思想处理实际问题的方法，理解随机误差的来源和对预报变量的影响．

四、教学过程

（一）创设问题情境

1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响。 2．问题一：为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？

（二）新课讲解

例1若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编号

身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重．

⑴总偏差平方和：每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用示总的效应；

表学生动手计算出例1中的总偏差平方和。

⑵残差平方和：数据点和它在回归直线上相应的位置的差异是随机误差的效应，称为残差，为残差平方和；

学生动手计算出例1中的残差（如下表）与残差平方和。

编号

身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 yi

ei

54.373 54.373 47.581 58.618 62.863 54.373 45.883 58.618 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382

⑶回归平方和：解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和），即总的偏差平方和＝回归平方和＋残差平方和，所以

回归平方和=总的偏差平方和－残差平方和

学生动手计算出例1中的回归平方和。学习要领：①注意、、的区别；

②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和；

③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；

④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 来刻的值越接近于1，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好，即解释变量和预报变量的线相关性越强.

代入例1中的数据知例1中的，即解释变量对总效应约贡献了64%，而随机误差贡献了剩余的36%，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

问题二：观察图1．1-5中的残差图，样本点是如何分布？有无异常情况（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等）？

师：提出问题，指导学生画出残差图（以残差为纵坐标，样本编号或身高或体重为横坐标作出图形），引导学生进行残差分析，从而做到检查数据是否有误，或模型是否合适等。

生：分析、讨论。

从残差图中可以看到第1个样本点和第6个样本点的残差较大，需要确认是否出现采集的错误，指导学生去掉这两个数据后重新再计算回归

方程与相关指数，了解到拟合的效果会更好。

引导学生归纳残差所能说明的情况：

①

样本点的残差比较大，确认采集数据时是否出现人为的错误或其他原因；

残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。

（三）巩固练习

1．对于回归分析，下列说法错误的是( ) A．在回归分析中，两个变量的关系若是非确定关系，那么其中一个变量不能由另一个变量唯一确定

B．回归系数可以是正的，也可以是负的

C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明变量x与变量y之间完全线性相关

D．相关样本系数r∈(－1,1) 2．下列各组变量之间具有线性相关关系的是( ) A．出租车费与行使的里程

B．学习成绩与学生身高

C．身高与体重

D．铁的体积与质量

y3．若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的回归直线方程为^

＝50＋80x，则下列判断正确的是( ) A．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元

B．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元

C．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元

D．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元

答案：1.D

2.C

3.B 4.

10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：

x y 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72 其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩．

(1)y与x是否具有线性相关关系；

(2)如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程．

思路分析：先根据数据计算相关系数，然后根据相关系数的大小，判断两个变量是否线性相关．

解：(1)由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得

10102102＝71，＝72.3，xiyi＝51 467，xi＝50 520，yi＝52 541，

nr＝2≈0.785 3>0.75，

故两个变量有很强的线性相关关系．

yab(2)y与x具有线性相关关系，可设线性回归方程为^

＝^

＋^

x，则

b10ab^

＝2≈1.22，^

＝－^

＝72.3－1.22×71＝－14.32，

y所以y关于x的线性回归方程为^

＝1.22x－14.32. 五、小结

1．知识收获：进一步学习回归分析的基本思想以及求回归直线方程的步骤，正确认识随机误差e的产生原因、了解线性回归模型与函数的不同之处．

2．方法收获：线性回归方程的求法、用样本估计总体的统计思想．

3．思维收获：体会模型诊断的思想，提高利用回归方法解决实际问题的能力，培养探索和创新的精神．

六、作业

课本第9页第1题，第2题.