2.2.2 反证法教案和学案内容

2．2.2

反证法

学案

教材分析

直接证明与间接证明是数学证明的两类基本方法，直接证明的两种方法：综合法和分析法；间接证明的一种基本方法：反证法．

反证法，可以说是一个难点．因为以前我们的证明所采用的方法均为直接证明法，由已知到结论，顺理成章．而对于间接证明的反证法，许多同学难以走出直接证明的局限，从而不能深刻或正确地理解反证法思想．其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证明法不可替代的作用．

1．知识与技能目标

(1)使学生初步掌握反证法的概念及反证法证明的基本方法；

(2)培养学生用反证法简单推理的技能，发展学生的思维能力．

2．过程与方法目标

(1)从两则故事入手，体会反证法的威力，领会反证法的含义．

(2)引导学生掌握反证法证题的基本方法，训练学生的思维能力．

3．情感、态度与价值观

在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满了探索性和创造性，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想．

学习重点难点

重点：(1)理解反证法的概念；

(2)体会反证法证明命题的思路方法及掌握反证法证明的步骤；

(3)用反证法证明简单的命题．

难点：理解“反证法”证明如何得出“矛盾的所在”．

教学过程

一、

引入新课

事例一（播放视频）：诸葛亮的“空城计”与反证法：三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异于以卵击石，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城，绝不能中计也．”于是急令退兵．这就是家喻户晓的“空城计”．

提出问题：

1．诸葛亮面临的问题是什么？

2．从正面考虑该如何解决这个问题？

3．诸葛亮是如何考虑的？

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视引导，可以让几位同学说说讨论的结果，最后教师总结．

活动成果：熟悉这个故事，却从没想到它其实是反证法的思想体现，很快得出结论：诸葛亮从问题(守住城)的反面(不守城)考虑，解决了用正面方法(用少数老弱军士去拼杀)很难或无法解决的问题．让学生分析“空城计”与反证法的联系，通过这一妙用反证法的典范欣赏诸葛亮的聪明才智

事例二：王戎七岁，尝与诸小儿游。看道边李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动。

人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李。”取之信然。

这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 这就是著名的“道旁苦李”的故事．实质上王戎的论述，也正是运用了反证法．

．

学情预测：可能学生以前接触过，应该会很快回答出来

设计意图

这个活生生的例子的引入，让学生感受到反证法存在的价值，激发学生的学习兴趣．

二、

探究新知

提出问题：什么叫做反证法？

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，

这样的证明方法叫做反证法。

反证法是一种间接的证明方法。

思考反证法的理论依据是什么？是不是证明命题的逆否命题？

反证法的理论依据可概括成形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。 由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式

设计意图

了解反证法的数学含义

理解新知

问题1：晚饭后，小明在客厅上网，爸爸在旁边看电视，妈妈和妹妹在厨房洗碗，突然,‘啪’的一声，有碗打碎了，然后一片寂静

小明:一定是妹妹不小心把碗打碎了. 爸爸:不可能,你妈脾气大，如果是妹妹打碎了碗，这会儿肯定能听到你妈的吆喝声了! 1、上述对话中,爸爸要告诉小明的命题是什么? 2、爸爸是如何推断该命题的正确性的? 问题2：马航事件：2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司称一架载有239人的波音777-200飞机MH370与管制中心失去联系的，至今渺无音讯。随即马方宣布飞机搜救中心应在南海（失联地点），之后又搜救范围扩大到马六甲海峡，15日，马总理公布军方雷达检测到8点11分MH370出现在印度安达曼群岛，所以搜救中点应转变为安达曼群岛乃至印度洋海域，至飞机失联整整一个星期。

1、由飞机失联地点确定搜救重点范围，属于什么推理

2、为什么宣布搜救重点不再是南海？（而应该是安达曼群岛乃至印度洋-“南北走廊”）

你能根据晚饭后生活情景推断以及道旁苦李的故事总结反证法的一般步骤吗？

反证法证明的步骤是什么？(共分三步) (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

问题2：将9个球分别染成红色或白色．那么无论怎样染，至少有5个球是同色的，请你证明这个结论．

思考：反证法的思维方法是？

活动设计：先让学生独立思考，小组交流．

活动成果：假设有某种染法使红色和白色球的个数都不超过4个，则球的总数应不超过4＋4＝8(个)，这与球的总数是9矛盾．因此，无论怎样染，至少有5个球是同色的．

学情预测：可能有的同学用直接证明的方法证明这个结论，则需要将各种染色方法具体列出，再对每种染色方法一一进行验证，然后得出结论，这样做比较麻烦。

设计意图

通过小例子体会反证法存在的价值，领会反证法证明问题的方法．

万事开头难，让我们走好反证第一步:反设

你能说出下列结论的反面吗? a⊥b 2.d是正数

3.a≥0 4.a∥b 常用的互为否定的表述方式：

至少有一个——

至少有三个——

至少有n个——

最多有一个——

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.、

原词语

等于

是

都是

大于

小于

对所有x,成立

否定词

原词语

任意的

至少有一个

至多有一个

至少有n个

至多有n个

对任意x，不成立

否定词

已知：如图，

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角求证：

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于

或等于６０度.

证明：假设所求证的结论不成立，即

∠Ａ＿＿６０°，

∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０°

则

∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ

＜

１８０度

这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾

所以假设命题＿＿＿＿＿＿，

所以，所求证的结论成立．

思考：反证法证明过程中，推出矛盾，除了与已经条件矛盾，还有哪些情况？

总结;反证法证明的关键是：第二步即从结论的反面出发，经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有以下几种情况：

(1)与原题中的条件矛盾；

(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；

(3)与假设矛盾

(4)与既定事实矛盾

三

运用新知

例7已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．

b思路分析：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝，从正面较难说清为什么只有这个a根．我们采用反证法，即证明如果不是一个根则会导致矛盾．

b证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝. a如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，①

ax2＝b.②

①－②，得a(x1－x2)＝0. 因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．

所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．

点评：通过本例题的交流，深刻领会反证法证明问题的方法，加深对反证法的理解．

．

巩固练习用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b.

例8：已知直线a，b和平面α，如果aα，bα，且a∥b，求证：a∥α.

变练演编

已知：如图，直线a,b被直线c所截，

∠1 ≠

∠2 求证：a∥b

点评：反证法是一种证明题目的间接方法，在有些题目的证明中用反证法非常简洁，但并不是每一类题用反证法都恰到好处，那么，对于哪些题目适合用反证法呢？

（1）关于“唯一性”结论的命题；

（2）以否定性判断作为结论的命题，无法引用定理来证明否定形式的结论；

（3）以“至多”“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；

（4）一些不等量命题的证明；

（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段。

（6）解决整除性问题；

（7）涉及各种“无限”结论的命题等等。

(8)对要证明的命题，已知它的逆否命题是正确的．

四、达标检测

1、在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角.

2、求证：2，3，5不可能成等差数列．

五、

课堂小结

1反证法的概念

2反证法证明的基本步骤：

（1）假设命题结论的反面是正确的；(反设)

（2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)

3、反证法的适用题型

4、用反证法证题时,应注意的事项

: （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；

（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；

（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。

六、

布置作业

课外拓展

警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：

Ａ说：这里有１个人说谎．

Ｂ说：这里有２个人说谎．

Ｃ说：这里有３个人说谎．

Ｄ说：这里有４个人说谎．

Ｅ说：这里有５个人说谎．

聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？

习题2.2

（必做题）A组

3

（选做题）B组

2