1.3 二项式定理（通用）教学内容分析

1.3

二项式定理（第三课时）

竹溪二中

李联群

一、知识清理

1．二项式定理

0n1n－1n－kkn*公式(a＋b)n＝Cna＋Cnab＋…＋Ckb＋…＋Cnnanb(n∈N)叫做二项式定理．

2．相关概念

(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．

(2)各项的系数Ckn(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数．

kn－kk(3)展开式中的Cnab叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1，它表示展开式的第k＋1项．

122k(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnnxk＋…＋Cnnx．

二、讨论辨析

1．二项展开式中的字母a，b能交换位置吗？

提示：二项展开式中的字母a，b是不能交换的，即虽然(a＋b)n与(b＋a)n结果相同，但(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，不能混淆，如(a＋b)3的展开式中第2项是3a2b，而(b＋a)3的展开式中第2项是3ab2，两者是不同的．

2．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？

r提示：二项式系数Cn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关.

新课学习

考点一：二项式定理的正用与逆用

例题1

(1)求(3x＋14)的展开式；

x(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

1解答

(1)法一：(3x＋)4

x111413122＝C0()2＋C3()3＋C4()4

4(3x)＋C4(3x)·＋C4(3x)·4(3x)·4·xxxx121＝81x2＋108x＋54＋＋2. xx（3x＋1）1法二：(3x＋)4＝

x2x1＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x121＝81x2＋108x＋54＋＋2. xx5142332450(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 4

方法规律小结

1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：

(1)各项的次数都等于n；

(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. 2．逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．

当堂练习1 1．用二项式定理展开(x－16). x616x－16（x－1）解：(x－)＝()＝

x3xx16015124233342451560＝3[C06x(－1)＋C6x(－1)＋C6x(－1)＋C6x(－1)＋C6x(－1)＋C6x(－1)＋C6x(－x1)6] 1＝3(x6－6x5＋15x4－20x3＋15x2－6x＋1) x1561＝x3－6x2＋15x－20＋－2＋3. xxx2．(x－2)n展开式中共有12项，则n＝(

) A．10

B．11

C．12

D．9 解析：∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x－2)n的展开式中共有12项，∴n＝11. 答案：B 3．(新课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝(

) A．－4

B.－3

C．－2

D．－1 1解析：展开式中含x2的系数为C25＋aC5＝5，解得a＝－1，故选D. 答案：D

考点二

求二项展开式中的特定项或其系数

33n的展开式中，第6项为常数项．

x－例题2

已知在3x(1)求n的值；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

n－r

[自主解答]

(1)通项为n－2r3Tr＋1＝Crnxr(－3)rx－

3r3＝Crn(－3)x. 因为第6项为常数项，

n－2r所以r＝5时，有＝0. 3

即n＝10. (2)令n－2r1＝2，得r＝(n－6)＝2. 322所以所求的系数为C210(－3)＝405. (3)根据通项，由题意得

10－2r∈Z，3

0≤r≤10，r∈N，所以r可取2，5，8. 所以第3项，第6项与第9项为有理项，

225588－2它们分别为C210(－3)x，C10(－3)，C10(－3)x. －即405x2，－61 236，295 245x2. 互动探究

保持例题条件不变，求展开式第四项的二项式系数及第四项的系数．

3310的展开式的通项是

x－解：∵3xrTr＋1＝Cr10(－3)x10－2r3，

33∴第四项的二项式系数为C327＝－3 240. 10＝120，第四项的系数为C10(－3)＝－120×求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)．

(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；

(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；

(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．

当堂训练

121．已知二项式x＋. 2x10(1)求展开式中的第5项；

(2)求展开式中的常数项．

1102解：(1)x＋的展开式的第5项为

2x4T5＝C10·(x2)6·4141214105101＝C4·＝x. 102·x·82xx(2)设第k＋1项为常数项，

k51kk210－k1k则Tk＋1＝C10·(x)·＝C10·x20－k·(k＝0，1，2，…，10)，

222x5令20－k＝0，得k＝8，

2

所以18T9＝C10·2＝45，

256845即第9项为常数项，其值为. 256x＋a842．(安徽高考)若3的展开式中x的系数为7，则实数a＝________．

xx＋a8解析：二项式3展开式的通项为Tr＋1＝

x4411rr3C8ax8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故C38a＝7，易得a＝.

答案：

3322

考点三

整除(求余)问题

例题

用二项式定理证明1110－1能被100整除．

解答

1110－1＝(10＋1)10－1 101928910＝C010＋C10－1 1010＋C1010＋C1010＋…＋C10·＝C01010＋C1109＋C2108＋…＋102

10·10·10·12＝100(108＋C10·107＋C10·106＋…＋1) 显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除．

整除性问题或求余数的处理方法：

(1)构造一个与题目条件有关的二项式．

(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了．

(3)要注意余数的范围，若a＝cr＋b，其中b为余数，b∈[0，r)，r是除数．利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注意转化．

当堂训练

2271．求C127＋C27＋…＋C27除以9的余数．

127012270解：C27＋C227＋…＋C27＝(C27＋C27＋C27＋…＋C27)－C27

＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C099＋C198(－1)＋C297(－1)2＋…＋C89(－1)8＋C99·9·9·9·9(－1)9

＝C099－C198＋C297－C396＋…＋C89－1 9·9·9·9·9·＝9(C098－C197＋C296＋…＋C89·9·9·9)－1 081726＝9(C9·9－C9·9＋C9·9＋…＋C89－1)＋(9－1) 227∴C127＋C27＋…＋C27除以9的余数为8.

小结：与二项式定理相关的问题，主要是这三类型

1、顺用与逆用二项式定理：可以化简多项式，体现的是整体思想．

2、求二项展开式的特定项问题，与通项有关，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解

3、整除性问题或求余数问题：构造一个与题目条件有关的二项式．通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了

课后作业（*必做）

一、选择题

*1．(x－2)n展开式中共有12项，则n＝(

) A．10

B．11

C．12

D．9 解析：∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x－2)n的展开式中共有12项，∴n＝11. 答案：B *2．(新课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝(

) A．－4

B.－3

C．－2

D．－1 1解析：展开式中含x2的系数为C25＋aC5＝5，解得a＝－1，故选D. 答案：D *3．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，则S＝(

) A．(x－2)4

B．(x－1)4

C．x4

D．(x＋1)4

413223解析：S＝C01＋C21＋C4(x－1)·13＋C414＝[(x－1)＋1]4＝x4. 4(x－1)＋C4(x－1)·4(x－1)·4·答案：C 3*4．(x＋x)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有(

) A．4项

B．3项

C．2项

D．1项

解析：Tk＋1＝Ck(12·x)12－k(x)312－kk＝Ckx212·kk·x＝Ckx6－.要使6－为正整数，则k＝0，12·66k36，12. 答案：B 5．(x＋2)6的展开式中x3的系数为(

) A．20

B．40

C．80

D．160 －解析：(x＋2)6的展开式的通项为Tk＋1＝Ckx6k·2k，要求含x3的项的系数，只需令6－k6·＝3，解得k＝3，故展开式中x3的系数为C323＝160. 6·答案：D 2x2－3展开式中的常数项为(

) 6．(江西高考)xA．80

B．－80

C．40

D．－40 2－－rr解析：Tr＋1＝C5·(x2)5r·(－3)r＝C5·(－2)r·x105r，令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为x2C5×(－2)2＝40. 答案：C *7．(湖北高考)设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(

) A．0

B．1

C．11

D．12 *8．9192被100除所得的余数为________．

92解析：法一：9192＝(100－9)92＝C010092－C110091·9＋C210090·92－…＋C9292·92·92·929，

展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．

1∵992＝(10－1)92＝C01092－C92·1091＋…＋C90102－C9110＋1，

92·92·92·前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，5

结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81. 909192法二：9192＝(90＋1)92＝C09092＋C19091＋…＋C92·902＋C92·90＋C92. 92·92·前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81. 答案：81 三、解答题

9．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数．

解：∵(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，

∴本题求x10的系数，只要求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数即可．

r10－rr由Tr＋1＝C10x·2，

8令r＝2得x的系数为C222＝180. 10×又x10的系数为C010＝1，

∴所求系数为180－1＝179. 23*10．二项式(x－)15的展开式中：

x(1)求常数项；

(2)有几个有理项；

(3)有几个整式项．

解：展开式的通项为：

2x)()r＝(－1)r2rCr15xx30－5r(1)设Tr＋1项为常数项，则＝0，

63Tr＋1＝(－1)rCr15(15－r30－5r6，

得r＝6，即常数项为T7＝26C615；

30－5r5(2)设Tr＋1项为有理项，则＝5－r为整数，

66∴r为6的倍数，

又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数．

即共有3个有理项．

5(3)5－r为非负整数，得r＝0或6，

6∴有两个整式项．