二 一般形式的柯西不等式课件配套优秀公开课教案设计

柯西不等式复习课

一、知识回顾

1．二维形式的柯西不等式

(1)定理1(二维形式的柯西不等式) 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥____________，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

(2)(二维变式)a2＋b2·a2＋b2·c2＋d2≥____________，c2＋d2≥____________．

(3)定理2(柯西不等式的向量形式) 设α，β是两个向量，则|α·β|≤__________，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

(4)定理3(二维形式的三角不等式) 设x1，y1，x2，y2∈R，那么______________________．

(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥2x21＋y1＋2x22＋y2≥

（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋_________________________________________．

2．柯西不等式的一般形式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋22222a22＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．

二、典例剖析

柯西不等式的证明

[典例引领]

若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

【证明】

因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2

＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd

＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，

当且仅当ad＝bc时，等号成立．

即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，

所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，

当且仅当ad＝bc时，等号成立．

变式训练

设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．

[证明] 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.

根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，

所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.

因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.

如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．

柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．

如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则

（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x1－x2）2＋（y1－y2）2.

证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．

由|CA|＋|CB|≥|BA|与两点间的距离公式得（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥

（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x1－x2）2＋（y1－y2）2.

（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥当且仅当点C位于线段BA上时取等号．

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设a1，a2，b1，b2为实数，求证：a1＋a22＋22b1＋b2≥（a1－b1）2＋（a2－b2）2. [证明] (2a1＋a22＋22b1＋b22)

222b21＋b2＋b1＋b2

2＝a21＋a2＋22a21＋a2222≥a21＋a2＋2|a1b1＋a2b2|＋b1＋b2

222≥a21＋a2－2(a1b1＋a2b2)＋b1＋b2

222＝(a21－2a1b1＋b1)＋(a2－2a2b2＋b2)

＝(a1－b1)2＋(a2－b2)2，

所以2a21＋a2＋2b1＋b22≥

（a1－b1）2＋（a2－b2）2.

利用柯西不等式求最值

[典例引领] v4u4

已知正实数u，v，w满足u＋v＋w＝8，求＋916222w4＋的最小值．

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【解】

因为u2＋v2＋w2＝8.

所以8＝(u＋v＋w)22222u22v2w2＝·3＋·4＋·5

453u4v4w4(9＋16＋25)，

≤＋＋916254w46432u4v所以＋＋≥＝.

916255025v2w2u268当且仅当÷3＝÷4＝÷5，即u＝，v＝，w＝2时取345554w468u4v到“＝”，所以当u＝，v＝，w＝2时＋＋的最小5591625值为32. 25

2利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a21＋a2＋…＋11122＋＋…＋a2)222≥(1＋1＋…＋1)＝n.在使用柯西不等式naaa12n时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．

[通关练习] 1．设x，y，z∈R，2x－y－2z＝6，试求x2＋y2＋z2的最小值．[解]

考虑以下两组向量

u＝(2，－1，－2)，v＝(x，y，z)，

根据柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2，

得[2x＋(－1)y＋(－2)z]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x2＋y2＋z2)，

即(2x－y－2z)2≤9(x2＋y2＋z2)，

将2x－y－2z＝6代入其中，

得36≤9(x2＋y2＋z2)，

即x2＋y2＋z2≥4，

故x2＋y2＋z2的最小值为4. 2．设x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝25，试求x－2y＋2z的最大值与最小值．

[解]

根据柯西不等式，有(1·x－2·y＋2·z)2≤[12＋(－2)2＋22](x2＋y2＋z2)，

即(x－2y＋2z)2≤9×25，

所以－15≤x－2y＋2z≤15，

故x－2y＋2z的最大值为15，最小值为－15.

利用柯西不等式证明不等式

[典例引领]

设a，b，c为正数，且1212100b＋＋c＋≥. bc3121212a＋＋b＋＋c＋

abc12a＋b＋c＝1，求证：a＋a＋【证明】

1212121222＝(1＋1＋1)a＋a＋b＋b＋c＋c

311121≥1×a＋a＋1×b＋b＋1×c＋c

311121＝1＋a＋b＋c

311121＝1＋（a＋b＋c）a＋b＋c

311002≥×(1＋9)＝，

33当且仅当a＝b＝c时等号成立，所以所求证的不等式成立．

利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．注意等号成立的条件．

[通关练习] 1491．已知a，b为正数，求证a＋b≥. a＋b[证明] 因为a>0，b>0，所以由柯西不等式，

14得(a＋b)a＋b

＝[(a)＋(b)≥22]·12＋a42

ba·1＋b·a142＝9，当且仅当a＝b时取等号，所b2149以a＋b≥. a＋b121225a＋b＝1，求证：a＋a＋b＋b≥. 22．设a，b>0，且2[证明] 因为(111＋12)a＋2＋b＋2

ab112≥a＋a＋b＋b

112＋＝1＋ab

112＝1＋ab≥25因为ab≤4，当且仅当121225所以a＋a＋b＋b≥. 21a＝b＝时取等号，

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