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关键词：2.2.2 反证法课堂实录【1】

正文

选修1-2

2.2.2

反证法

一、教学目标：

1、了解反证法，掌握用反证法证明题目的过程。

2、通过学生的独立思考，交流合作，让学生经历问题解决的过程，体验解决问题的方法多样性。

3、让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习的兴趣。

二、教学重点、难点：

重点：掌握反证法的证明步骤，体会反证法证明命题的思路方法。

难点：如何用反证法证明问题。

三、教学过程：

1、引入：

（1）古代小故事：“道旁苦李”

“古代有个聪明的小孩叫王戎。有一次，他和几个小伙伴外出，看见路边有株李树结了很多李子，枝条都被压弯了。那些小伙伴都争先恐后地跑去摘，只有王戎站在一旁，一动也不动。大家问他为什么不去摘李子，王戎笑着回答：“那树上的李子肯定是苦的，摘下来也不能吃。”小伙伴们摘来一尝，李子果然是苦的。”

提出问题：王戎为什么那么肯定李子是苦的，他的理由是什么？

指出：王戎之所以那么肯定，他的思维是“假设李子是甜的，那么李子早就被路人摘走了，树上不可能有那么多李子。”

这里的“假设”就是我们的反证法的“反设”。

（2）学生回答问题：一个三角形能有两个钝角吗？为什么？

通过学生的回答，逐步引出反证法证明题目的步骤。

2、新课：

（1）间接证明的基本方法：反证法

一般地，先假设原命题不成立，再经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。

反证法的过程包括以下三个步骤：反设、归谬、存真

反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；

归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；

存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。

（2）例题：求证：若a2b20，则a=0且b=0 分析：从正面证较难入手，采用反证法。注意反设为“a，b不全为0”

由a，b不全为0可得a2b20，与条件矛盾，由此得证。

练习：写出下面命题的否定。

1）若关于x的方程x22xm0有两个实根，则m0

2）已知a0，关于x的方程ax=b只有一个根

3）实数a,b,c,d满足a+b=c+d，ac+bd>1，则a,b,c,d中至少有一个是负数。

（3）例题：已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证B2

分析：证明“>”的命题，往往从正面较难入手，宜从反面的角度

反设“B2”，结合题目条件与三边有关，应从角的问题转为边的问题，可从“大角对大边”入手，也可以从余弦定理入手。

（4）小结：宜用反证法证明的题型：

1）直接证明困难，

2）结论是以否定形式给出（或“唯一”类命题）等，

3）结论为“有无穷多个”、“至少”、“至多”这类命题。

（5）练习：1）证明在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角。

2）求证：2,3,5不可能成等差数列。

资料摘要

2.2.2 反证法课堂实录【1】

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