1.1 回归分析的基本思想及其初步应用公开课教学设计模版

§3.1

回归分析的基本思想及其初步(一）

【学情分析】：

教学对象是高二理科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中，要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。在起点低的班级中注重让学生参与实践，结合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达到学习的目的。

【教学目标】：

（1）理解用最小二乘法求回归模型的步骤。

（2）了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。

【教学重点】： 1.

了解线性回归模型与函数模型的差异； 2.

了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。

【教学难点】：

1.

了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数；

了解线性回归模型与一次函数模型的差异。

【教学过程】：

一、创设情境：

问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，通常个子较高的人体重比较大，但这是否一定正确？（是否存在普遍性）

问题二：统计方法解决问题的基本过程是什么？

回归分析的基本过程：⑴画出两个变量的散点图；

⑵判断是否线性相关

⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）

二、例题选讲

探究活动：对于一组具有线性相关的数据（x1,y1）,(x2,y2)……,(xn,yn),我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：a=y+bx, ^^ b=^(xi1nnix)(yiy)i(xi1x)2

1其中x=n1y,=xini1nyi1ni.(x,y)称为样本点的中心。你能推导出这两个计算公式吗？

下面我们通过案例，进一步学习学习回归分析的基本思想及其应用。

问题三：思考例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。

编号

身高/cm

体重/kg

1

165

48

2

165

57

3

157

50

4

170

54

5

175

64

6

165

61

7

155

43

8

170

59

题目中表达了哪些信息？

（例题含义：①数据体重与身高之间是一种不确定性的关系

②求出以身高为自变量x，体重为因变量y的回归方程。

③由方程求出当x = 172时，y的值。

求解过程如下：

①画出散点图，判断身高x与体重y之间存在什么关系（线性关系）？

706560

55

50

45

40155160165170175180

150②列表求出相关的量，并求出线性回归方程

ˆ代入公式有bxyii1nninxynx2xi12i723158165.2554.50.848

22187748165.25ˆybx54.50.849165.2585.712

aˆx0.849x85.712

ˆaˆb所以回归方程为y

③利用回归方程预报身高172cm的女大学生的体重约为多少？

ˆ0.84917285.71260.316kg

当x172时，y引导学生复习总结求线性回归方程的步骤：

第一步：作散点图—→第二步：求回归方程—→第三步：代值计算

问题四：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

（不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.）

从散点图可观察出，女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型ybxae，其中残差变量线性回归模e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 问题五：如何衡量两个变量之间线性相关关系的强弱呢？

相关系数：rxi1nixyiy2xi1nixyi1n

iy2相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当r大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系。

问题六：例1中由体重与身高建立的线性相关关系有无意义？

生：动手计算本例中两个变量之间的相关系数，r0.798，表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义

三、巩固练习

1．

假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料。试求：

使用年限x

维修费用y

⑴画出数据的散点图；

⑵若x与y呈线性相关关系，求线性回归方程

y ＝

bx + a

的回归系数a、b；

⑶估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

答案：⑴散点图如图：

2

3

4

5

6

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

87

yi6543210024xi68

⑵由已知条件制成下表：

i

xi

1 2 2.2 4.4 4 n2 3 3.8 11.4 9 n3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42.0 36 xi

xiyi

2xi

x4； y5；

xi12i90；xiyi112.3

i1112.354512.31.23

2109054ˆx51.2340.08

ˆybaˆ1.23x0.08，

⑶

回归直线方程是y当x10时，y1.23100.0812.38（万元）

ˆ于是有b即估计使用10年时维修费用是12.38万元

四、小结反思

1．

熟练掌握求线性回归方程的步骤；

⑴画出两个变量的散点图；

⑵判断是否线性相关；

⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）；

⑷并用回归直线方程进行预报。

2．

理解线性回归模型与一次函数的不同；

一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 3．

了解相关系数的计算与解释。

相关系数：rxi1nixyiy2xi1nixyi1n

iy2相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当r大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系