1.3 二项式定理（通用）教学目标

1． 3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

第一课时

一、复习引入：

02122 ⑴(ab)2a22abb2C2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

00a的系数是C4展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，；112恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系3224432234数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

二、讲解新课：

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabn4041322233444233344rnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

nn

1

r恰有r个取b的情况有Cn种，annrrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1r项，各项的系数Cn(r0,1,n)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

三、讲解范例：

例(1)．展开(1)．

4112334解一：

(1)1C4()C4()C4()()11x41x1x1x1x1x4641234．

xxxx444413123x4C4xC4xC4x1解二：(1)()(x1)()

xxx11114641234．

xxxx(2)．展开(2x16)．

x解：(2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

666663x6012164x3192x2240x16023．

xxx12(3)．求(xa)的展开式中的倒数第4项

解：(xa)的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

12例2、（1）求(x339)的展开式常数项；

x（2）求(x339)的展开式的中间两项

x

2

39rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3xr9∴（1）当9（2）(36r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

xx912T5C349891594251093，T6C93x2378x3

x四、巩固练习：

练习：（1）求(2a3b)6展开式中的第3项，

（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

2解：（1）T21C6(2a)4(3b)22160a4b2，

2 （2）T21C6(3b)4(2a)24860b4a2．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

（3）求(x339)的展开式常数项；

x39)的展开式的中间两项

x（4）求(x339rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3xr9∴（1）当9（2）(36r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

xx912T5C3

49891594251093，T6C93x2378x3

x

3