1.3 二项式定理（通用）板书设计及设计说明

1.3 二

项

式

定

理

一、教学目标：

知识与技能：

能解决二项展开式有关的简单问题，进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：

教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

(一)温故知新

⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

22202122⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

322344即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

4a的系数是C4；展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，322112恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系数040

2334是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab3的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b4的4系数是C4，

04132223344∴(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b．

(二) 探究新知

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，an的系数是Cn；

n11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

r恰有r个取b的情况有Cn种，anrrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式，⑶它有n1r项，各项的系数Cn(r0,1,nn)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

(三)应用巩固

例1．展开(114)．

x1414464111112313解一：

(1)1C4()C4()C4()()1234．

xxxxxxxxx1414144413123xCxCxCx1解二：(1)()(x1)()444

xxx46411234．

xxxx

例2．展开(2x16)．

x：解(2x(C12

161)3(2x1)6xxx561[xx3666)C64x3192x2240x1606012123. xxx例3．求(xa)12的展开式中的倒数第4项

解：(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例4．求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

2解：（1）T21C6(2a)4(3b)22160a4b2，

2 （2）T21C6(3b)4(2a)24860b4a2．

点评：(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

例5．（1）求(x339)的展开式常数项；

x39)的展开式的中间两项

xr9（2）求(x339rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3x∴（1）当9（2）(36r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

xx912T5C3498994253，T6C93109x2378x3

x15例6．（1）求(12x)的展开式的第4项的系数；

7

9（2）求(x)的展开式中x3的系数及二项式系数

1x3解：(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

9r9rrrr92r（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x()(1)C9x，

1x1x∴92r3，r3，

33∴x3的系数(1)3C984，x3的二项式系数C984．

（四）课堂练习：

1.求2a3b的展开式的第3项. 2.求3b2a的展开式的第3项. 3.写出(3x66123x7)n的展开式的第r+1项. 4.求x2x3的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）(a3b)5；（2）(x25). 2x56.化简：（1）(1x)(1x)；（2）(2x3x7．xxlgx51212)(2x3x)4 41212展开式中的第3项为10，求x．

561 8．求x展开式的中间项

x22答案：1.

T21C6(2a)62(3b)22160a4b2

2.

T21C6(3b)62(2a)24860a2b4

2nn2r1r3r3nrr3.

Tr1Cn(x)(

)Cnx322x1r3334.展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数C72280

5.

（1）(a3b)5a55a43b10a33b210a2b5ab3bb3b2；

（2）(x25125xxx)xxxx5x20402323. 2328xxxx

6.

（1）(1x)5(1x)5220x10x2；

（2）(2x3x)(2x3x)192x7.

xxlgx1212412124432

x展开式中的第3项为Cx5232lgx5106x32lgx105

510

x10,x210002lg2x3lgx50lgx1,lgx1n8.

x展开式的中间项为(1)nC2n

x五、小结

2n1.二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点

六、作业

1.课堂检测

七、课后记

教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。