复习参考题教学设计及教案分析

简单线性规划

★☆★【知识梳理】☆★☆

一、二元一次不等式（组）与平面区域：

1、几何意义：

在平面直角坐标系中，直线axbyc0将平面内的点分为三类：

（1）直线axbyc0上的点的坐标满足方程axbyc0；

（2）直线一侧半平面内的点的坐标满足不等式axbyc0；

（3）直线另一侧半平面内的点的坐标满足不等式axbyc0。

2、判定方法：

在直线axbyc0的某一侧的半平面区域内，任取一特殊点(x0,y0)，根据ax0by0c值的符号，即可判断不等式表示的平面区域。

3、注意事项：

（1）作不等式所表示的平面区域时应注意区分边界的虚实；

（2）不等式组所表示的平面区域是组中各个不等式所表示平面区域的公共部分。

二、线性规划中的基本概念：

1、约束条件：由关于x、y的不等式（或方程）组成的不等式组

线性约束条件：由关于x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组

2、目标函数：关于变量x、y的一个函数表达式

线性目标函数：关于变量x、y的一个线性函数

3、可行解：满足约束条件的解(x，y)

可行域：所有可行解组成的集合

4、最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解

5、线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

三、线性规划的应用：

1、二元一次不等式（组）表示的平面区域

直线定界，特殊点定域。

2、求目标函数的最值

（1）基本类型：截距型

一画 二移 三求

（2）变异类型：距离型 斜率型

一画 二造 三求

3、线性规划的实际应用

（1）建立线性规划模型；

（2）求出最优解；

（3）作出实际问题答案。

界首一中

1

2018-07-02

不等式、推理与证明

★☆★【热身训练】☆★☆

→→0OPOA11、向量OA＝(1,0)，OB＝(1,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足条件，则点P的变化0OPOB2范围用阴影表示为(

)

xy-102、在平面直角坐标系中，若不等式组x-10(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的ax-y10值为(

) A．－5

B．1

C．2

D．3 x-y103、如果实数x，y满足xy-20，则目标函数z4xy的最大值为(

) x107A．2

B．3

C.

D．4 20

0

2、可行域如图，其面积为2，∴|AC|＝4，∴C(1,4)，代入ax－y＋1＝0，得a＝3.

故选D；

第2题

134373、可行域如图，平移y＝－4x得，当x＝，y＝时，zmax＝＋＝. 故选C。

22222第3题

高三第一轮

2

简单线性规划

★☆★【考点例析】☆★☆

一、不等式（组）表示的平面区域：

直线定界，特殊点定域。

xy60例11：求不等式组xy0表示的平面区域的面积。

x3xy60解析：不等式组xy0表示的平面区域如图所示，其区域面积就是ABC的面积。

x3 【法1】（特殊三角形）

显然ABC为等腰直角三角形，A90，ABAC，

易得B点坐标为(3,3)，C点坐标为(3,9)

，则|BC|12

∴

S1ABC212636。

【法2】（面积公式）

易得A点坐标为(-3,3)，B点坐标为(3,3)，C点坐标为(3,9)

，则|AC|(33)2(93)262

由点到直线的距离公式得高h|3(3)6|AC262

∴

S1ABC2626236。

【法3】（向量法）

易得A点坐标为(-3,3)，B点坐标为(3,3)，C点坐标为(3,9)

，则AC(6,6)，AB(6,6)

∴

S1ABC26(6)6636。

xy60故不等式组xy0表示的平面区域的面积等于36。

x3例12：求不等式x1y12表示的平面区域的面积。

解析：不等式x1y12可化为

x1x1x1y1或y1或y1或x1y1

xy4xy2xy2xy0其平面区域是对角线为4的正方形（如图），

∴面积S=12×4×4=8。

界首一中

3

对比三种解法的思路

分类讨论是解决绝对值问题的常用方法

2018-07-02

不等式、推理与证明

练习11：已知A(x,y)||x||y|1，B(x,y)|(yx)(yx)0，MAB，求M的面积。

解析：如图，M所表示的平面区域是两个对角线为1的正方形，

则S1。

x04练习12：若不等式组x3y4所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k值33xy4是(

) 7343A、

B、

C、

D、

3734解析：不等式组表示的平面区域是ABC及其内部（如图），其顶点分别为A(1,1)、B(0,4)、C(0,)

∵直线ykx4344必过定点C(0,)，

3315224才能平分平面区域

3∴只有直线过AB的中点M(,)时，直线ykx则5k47，即k。故选（A）

322345”改为“直线ykx”，则k值又是多少？

3342”改为“直线ykx”，则k值又是多少？

33【思考】若将“直线ykx若将“直线ykx二、求目标函数的最值：

（1）基本类型：截距型

一画

二移

三求

xy10x2y例21：若实数x、y满足xy0，则z3的最小值是（ ）

x0 A、0 B、1 C、3 D、9 解析：画出可行域(如图)，即AOB所围区域(包括边界)，

令tx2y，得y作直线y11xt，

2211x，沿y轴上下平移，且截距t随y的增大而增大，

22111∴当直线yxt过点O(0,0)时t最小，此时t取得最小值0。

222t∵z3单调递增，∴z3故选（B）。

x2y截距型

的最小值为31。

0高三第一轮

4

简单线性规划

（2）变异类型：距离型、斜率型

一画

二造

三求

xy20例221：设实数x、y满足约束条件x2y10，求z(x1)2(y2)2的取值范围。

y0点点距离型

解析：作可行域如图（包括边界），其中A(-2,0)、B(-1,0)、C(-3,1)

令P(x,y)为可行域内一动点、Q(1,2)为定点，

则z|PQ|2

∵|PQ|min|QH|∴45，|PQ|max|CQ|5，

16z5，

516,5)；

5注意垂足位置

故z(x1)2(y2)2的取值范围为(x-y20例222：设实数x、y满足不等式组2x-y-50，则zx2y4的最大值为 。

xy40解析：作出可行域（如图）即ABC所围区域(包括边界)，其顶点A(1,3)、B(7,9)、C(3,1)

法1：∵可行域内的点都在直线x2y40上方，∴x2y40

则目标函数等价于zx2y4

易得当直线zx2y4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值为zmax21。

法2：zx2y4x2y455

令P(x,y)为可行域内一动点、定直线x2y40，

则z5|PH|，其中|PH|为P(x,y)到直线x2y40的距离

由图可知|PH|max|BH|∴zmax21。，

|7294|5215

点线距离型

x-y10x2y例223：已知不等式组xy-20，则z的取值范围为 。

2xyx1界首一中

5

2018-07-02

不等式、推理与证明

解析：作出可行域（如图）即ABC所围区域(包括边界)，其顶点A(1,1)、B(,)、C(1,2)

∵x0，y0，∴z1322x2y22xy3y2x，

y，P(x,y)为可行域内一动点、

x3 则z2，kkOP

2k令k ∵kOAkOPkOB，∴1k3，

∴1z斜率型

7x2y7，即z的取值范围为1,。

52xy52练习21:

若方程xax2b0的一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，求下列各式的取值范围：

（1）ab3 （2）(a1)2(b2)2 （3）解：令f(x)x2ax2b，

b2

a1f(0)0b0则f(1)0，即1a2b0

f(2)042a2b0 作可行域如图（不包括边界），其中A(-2,0)、B(-1,0)、C(-3,1)

（1）目标函数zab3，

在点B(-1,0)处取得最大值zmax4

在点A(-2,0)处取得最小值zmin5，

但可行域不包括边界，故ab3的取值范围为(5,4)；

Q(1,2)为定点， （2）目标函数z(a1)2(b2)2，令P(a,b)为可行域内一动点、则z|PQ|2

∵|PQ|min|BQ|22，|PQ|max|CQ|17，

22∴8z17，故(a1)(b2)的取值范围为(8,17)；

（3）目标函数zb2，令P(a,b)为可行域内一动点、Q(1,2)为定点，则zkPQ

a1高三第一轮

6

简单线性规划

1，kmaxkBQ1，

411b2∴z1，故的取值范围为(,1). a144x4y30练习22:已知O为坐标原点，A(2,1)，P(x，y)满足3x5y25，则OPcosAOP的最大值是 。

x10∵kminkCQ解：作出不等式组所表示的可行域，如图

→→→→|OP|·|OA|cos ∠AOPOP·OA→∵|OP|·cos ∠AOP＝＝，

→→|OA||OA|OA＝(2,1)，OP＝(x，y)，

2x＋y→∴|OP|·cos ∠AOP＝，

5令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，即z表示直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，如图，

当直线经过可行域中的点M时，z取到最大值，

x－4y＋3＝0由3x＋5y＝25 →→

12125→得M(5,2)，这时z＝12，所以|OP|·cos ∠AOP＝＝，

55125125故OPcosAOP的最大值等于，应填。

55

（3）参变类型：

xy1例231：若实数x、y满足约束条件x-y1，目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，2xy2则a的取值范围是（ ）

，2) B、(4，2) C、(4,0] D、(2，4)

A、(1解析：作出线性约束条件的平面区域，如图所示．

∵目标函数zax2y，即y∴其斜率应满足1azx仅在点(1,0)

处取得最小值，

22a2，即4a2，故选（B）2

例232：已知平面区域D由以A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成，在区域D上有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，求实数m的值。

解析：作出平面区域（如图），则x0，y0

（1）若m0，则zx，仅在点A(1,3)处取得最小值zmin1，舍；

（2）若m0，则y1z1x，斜率k0，且z随y的增大而mmm界首一中

7

2018-07-02

不等式、推理与证明

增大，则当k1kAC1，即m1时，边AC上每一点(x，y)均使目标函数zxmy取得m最小值；

（3）若m0，则y1z1x，斜率k0，且z随y的增大而减小，则仅当直线mmmy1zx过点A(1,3)时使目标函数zxmy取得最小值，不合题意；

mm综上可知，m1。

x0例233：当x，y满足约束条件yx(k为负常数)时，能使zx3y的最大值为12，试2xyk0求k的值。

解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示) 当直线y11kkxz经过区域中的点A(，)时，z取到最大值333344zmaxk，令k12，得k9. 33∴所求实数k的值为－9. 三、线性规划的实际应用：

例31：某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的利益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，

xy300xy300由题意得500x200y90000，即5x2y900

x0,y0x0,y0目标函数为z3000x2000y，则y作出可行域．如图所示

作直线l：y3zx

220003x，平移直线l，由图可知，当直线l过M点时，2一建

二解

三答

目标函数取得最大值。

xy300x100由得，∴点M的坐标为(100,200)

5x2y900y200∴zmax30001002000200700000(元) 故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司收益最大，最大收益是70高三第一轮

8

简单线性规划

万元。

例32：预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 解析：设桌、椅分别买x、y张， 50x20y2000yx则约束条件为：

y1.5xxN,yN目标函数zxy，

作出可行域（如图）是ABO所围区域（包括边界），

作直线l：yx，平移直线l，由图可知，当直线l过B点时，目标函数取得最大值。

x2550x20y200075B(25,)

由得，∴点的坐标为752y1.5xy2，y37

又∵xN，yN，∴取x25因此买桌子25张，椅子37张是最好选择。

界首一中

9

2018-07-02

不等式、推理与证明

★☆★【真题欣赏】☆★☆

xy1101、（2010•北京）设不等式组3xy30表示的平面区域为D。若指数函数yax的图像上存在5x3y90区域D上的点，则a的取值范围是（

）

A、(1,3]

B、[2,3]

C、(1,2]

D、[3,)

【解析】可行域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a1时才能使函数yax的图像上存在区域D上的点，由图知当函数yax的图像经过点A时a取得最xy110x2大值，解方程组得，∴a3，即1a3。故选（A）

y93xy30x12、(2010·福建)设不等式组x2y30所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3xyx－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于(

) A.2812

B．4

C.

D．2 55【解析】

平面区域Ω1如图中阴影部分所示，由于平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，因此，|AB|的最小值即为Ω1中的点A到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的2倍．由图可知，当点A与点M(1,1)|3－4－9|重合时，Ω1中的点A到直线3x－4y－9＝0的距离取到最小值5＝2，∴|AB|的最小值为2×2＝4.故选（B）

2xy20 3、（2010•安徽）设x，y满足约束条件8xy40，若目标函数x0,y0zabxy（a0，b0）的最大值为8，则ab的最小值为 。

【解析】原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线zabxy（a0，b0）过直线2x－y＋2＝0与直线8x－y－4＝0的交点(1,4)时，目标函数zabxy（a0，b0）取得最大值为8，即8＝ab＋4，ab＝4，∴a＋b≥2ab＝4.当且仅当ab2时，等号成立。

高三第一轮

10