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探究性学习新授课案例

课题

课型

学习

目标

3．4 基本不等式：ab新授课

编定人

ab（第一课时）

2审核人

总课时数

执教时间

年 月 日

22abab

1、推导并掌握不等式ab2ab，ab；2、理解基本不等式ab的知识

22目标

几何意义；3、会用基本不等式解决证明不等式和求函数的最值问题。

能力

通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对基目标

本不等式的应用，培养学生的推理论证能力及灵活运用数学知识、思想和方法提出问题、分析问题和解决问题的能力。

情感

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇目标

于探索精神。

重点

难点

教学方法

应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式ab用基本不等式证明不等式和求函数的最值问题。

探究学习、学案导学

教学手段

ab的证明过程。

2三角板、彩笔

师 生 活 动

教 学 过 程

一、创设情境

问题：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

二、新知探究

1.借助图形，直观感 知

探究：图形中的不等关系：

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为_________。这样，4个直角三角形的面积的和是________，正方形的面积为__________。由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：_____________。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有______________。

2.抽象思维，形成公式

创设问题情境，激发兴趣, 增强学生的求知欲望。

2分钟

教师鼓励学生探究、交流，引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。

学生分组讨论、交流。

3分钟

22ab___2ab归纳：对于任意实数a、b，有当且仅当_____时，等号成立。

教师指出：这个公式 证明：

是从图形上直观认

识，需严格证明．

学生总结公式、证明

方法。

注：证法为不等式证明方法中的_______法。

3分钟

3．推陈出新、剖析公式

ab

（1）基本不等式：如果a>0,b>0,则

ab__2ab，即ab__当且仅

2当_____时，等号成立。

动手实践，探究本质. 证法一：

学生分组讨论、交流

证明方法。

注：证法一为不等式证明方法中的_______法。

ab

ab (1)只要证 a+b_______ 证法二：要证(2)要证（2），只要证a+b-

2注重步骤。

20（3）要证（3），

只要证（ - ）0（4）显然，（4）是成立的。

当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。所以不等式成立。

注：证法二为不等式证明方法中的_______法。

D ab10分钟

ab的几何解释：

（2）

2A a B C b

ab以为直径作圆，在直径AB上取一点C，使

D’

数形结合思想。

2CD__CACBabAC=a,CB=b,过C作弦DD’AB，则 从三种不同角度探索ab基本不等式ab

从而CD___ab，而圆的半径____CD, 所以ab2ab的证明语言表述：两个正数的_______平均数________它们的________平均数。

2（3）注意点归纳：

过程，深化公式理解及探究能力。

22ab2ab①两个不等式的适用范围不同，要求a、b _____;

ab

ab要求a__0,b__0。

2②对两个公式中的等号及“当且仅当……时取“=”的含义要透彻理解”。

aba0b0ab22分钟

)(a>0,b>0) ③ab（，）变形为ab(

22三、典例分析

应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系或证明不等式

例1．设a、b、c是不全相等的正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)>8abc 一名学生板演。

学生分组讨论、纠正、

争辩，合作交流。感

总结：等号及符号的准确表示，不等式的证明方法。

受成果初步应用。

6分钟

1Qlgalgb

Plgalgbab12练习：（2000全）若，，，

学生独立探究、操作。

abRlg

2，则（ ）

A.RPQ B.PQR C.QPR

D.PRQ

1

应用二：解决函数最大（小）值问题

例2．下列函数中x取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？

(1) (3)

规律技巧总结:利用基本不等式abf(x)4x99f(x)4xx（x>0）(2) x（x<0）

fx3x83x（0x2）。

ab求最值时，必须注意前提条件：①2a_0，b_0②积（或和）为____值；③当且仅当____时，等号成立，简记

为“__________________________”。若项为负数,则添_____变______。

变式一：求变式二：求f(x)4x9x（x R且x0）的值域；

f(x)4x9x（x R且x0）的最小值。

四、拓展提高

求函数f(a)4a(a3)a3的最小值。

归纳方法、技能：通过___________的方法配凑成基本不等式的形式. 五、归纳总结

1.正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件，理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。

2.如何用基本不等式abab证明不等式和求函数的最大、最小值？

23.通过探究体验，你有哪些方面的收获？

六、作业设计

１.必做题：习题3.4 A组1，3，4 ２.选做题：习题3.4 B组1 七、精彩一练

1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则（ ）

adadadadbcbcbcbcA．2B．2 C．2 D．2

三位学生板演。

学生自学、探究，对

学生可能出现的问

题，组织学生讨论、

交流、纠正，强化步骤的规范过程。

7分钟

学生讨论、总结，完善方法。

变式训练，探究方法，多角度分析解决问题。

5分钟

教师引导，学生合作

探究，培养学生探究

能力，教师做最后总

结及强调。

5分钟

2分钟

鼓励学生反思课堂全程和积极表现参与，教师引导学生总结研讨体会，并进行课堂交流，展示成果。

分层要求。

应用整合，强化新知。

2

2．下列函数中x取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？

31y12xx

x0x1xx1（１）时

，（２）若，ｙ＝

自主学习，拓展视野。

3．设a,b是两个不相等的正数,

ab2a2b2

A,Gab,H,G,试比较A,G,H,Q的大小. 1122

ab

八、心灵寄语

机遇对每个人都是一样的，困难对每个人都是存在的，挫折对每个人都是

不可避免的。只要思想不滑坡，办法总比困难多；只要思想一滑坡，困难总比

办法多。驾驭挫折，坚定信念，要有不屈不挠的毅力，荣辱不惊的心态，挑战心灵交流，培养自信。

困难的勇气，壮丽的人生将更加多彩！

九、学后反思

反思问题，不断进步。

十、拓展资源

中科院院士田刚——离菲尔茨奖最近的中国人

在第24界国际数学家大会上，田刚成为中国内地第一个进行一个小时大会报告培养兴趣，提升素养。

的学者。12年前，32岁时他就出现在京都国际数学家大会上。

在上一届菲尔

茨奖评选中，田刚进入了最后一轮的角逐。虽然没能获奖，但他是所有中国数

学家中曾经最接近这一号称“数学诺贝尔奖”桂冠的人。在许多人看来，他是备注：

天才。可他却说：“我的独特之处在于我不是天才。数学家不需要天才，关键国际数学家大会是最在于努力，在于有兴趣。”

高水平的全球性数学

44岁的田刚，是国际公认的最杰出的微分几何学家。1998年受聘为北科学学术会议，被誉京大学第一批“长江学者”，2001年当选为中国科学院院士，现任北京大学教为国际数学界的“奥授及美国麻省理工学院讲座教授。可1978年报考大学时，这位日后的著名数学林匹克”。大会颁发家的第一志愿不是数学，而是物理。“当年想法很简单，我的母亲搞数学研究，的菲尔茨奖，被誉为我不想再搞数学。”田刚说。南京大学数学系一位负责人认为他不是天才，田“数学领域的诺贝尔刚在大学4年间居然做了上万道题，这种踏实的习惯一直伴随着他。读书期间，奖”。

田刚始终没有放弃自己的爱好：爬山。他说：“爬山的特点就是不喜欢走回头

路，不达目的决不罢休。”

登高的另一个好处是可以开拓人的视野。田刚追

随张恭庆院士读北大，又追随菲尔茨奖获得者丘成桐到了美国。两人都是在数学界最出色的导师。无论哪位导师都告诉田刚：你要多读书，学会独立思考。

“我绝不鼓励学生像我一样，4年做上万道习题。”田刚强调：“但是有一个前提，必须踏实。”

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