复习题28优秀说课稿

2018中考数学试题分类汇编：考点37锐角三角函数和解直角三角形

一．选择题（共15小题）

1．（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB=（

）

=

A．

B．

C．

D．

【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．

【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，

∴AB=5，

∴sinB==，

故选：A．

2．（2018•孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．

【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，

∴BC=∴sinA====，

=6，

故选：A．

3．（2018•大庆）2cos60°=（

）

A．1 B．

C．

D．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．

【解答】解：2cos60°=2×=1．

故选：A．

4．（2018•天津）cos30°的值等于（

）

A．

B．

C．1 D．

【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．

【解答】解：cos30°=故选：B．

5．（2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（

）

．

A．

B．1 C．

D．

【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．

【解答】解：连接BC，

由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，

则tan∠BAC=1，

故选：B．

6．（2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（

）

A．

B．

C．

D．

【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；

【解答】解：在Rt△ABC中，AB=在Rt△ACD中，AD=∴AB：AD=故选：B．

7．（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（

）

：，

=，

，

A．100sin35°米

B．100sin55°米

C．100tan35°米 D．100tan55°米

【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．

【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，

∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．

故选：C．

8．（2018•威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（

）

A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m

B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势

C．小球落地点距O点水平距离为7米

D．斜坡的坡度为1：2

【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．

【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，

整理得x2﹣8x+15=0，

解得，x1=3，x2=5，

∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；

y=4x﹣x2

=﹣（x﹣4）2+8，

则抛物线的对称轴为x=4，

∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；

，

解得，，，

则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；

∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，

∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；

故选：A．

9．（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（

）

A

BCD．．．．

【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．

【解答】解：sinA===0.15，

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．

10．（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（

）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）

A．12.6米

B．13.1米

C．14.7米

D．16.3米

【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是DJ，tan∠AEM=矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、再根据，

构建方程即可解决问题；【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．

在Rt△CJD中，则有9k2+16k2=4，

∴k=，

==，设CJ=4k，DJ=3k，

∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=在Rt△AEM中，tan∠AEM=，

，

∴1.6=，

解得AB≈13.1（米），

故选：B．

11．（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（

）

A．21.7米

B．22.4米

C．27.4米

D．28.8米

【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；

【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．

在Rt△CDN中，∵∴CD=10，

==，设CN=4k，DN=3k，

∴（3k）2+（4k）2=100，

∴k=2，

∴CN=8，DN=6，

∵四边形BMNC是矩形，

∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，

在Rt△AEM中，tan24°=∴0.45=，

，

∴AB=21.7（米），

故选：A．

12．（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（

）

A．800sinα米

B．800tanα米

C．米

D．米

，即可【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=解决问题；

【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，

∴tanα=∴AB=故选：D．

，

=．

13．（2018•香坊区）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（

）

A．160米

B．（60+160）

C．160米

D．360米

【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．

【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×∴BC=BD+CD=160故选：C．

（m）．

=40=120（m），

（m），

14．（2018•绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（

）（结果保留小数点后两位）（参考数据：A．4.64海里

≈1.732，≈1.414）

C．6.12海里

D．6.21海里

B．5.49海里

【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可

得．

【解答】解：如图所示，

由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，

作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE，

设BD=x，

则AB=BE=CE=2x，AD=DE=∴AC=AD+DE+CE=2∵AC=30，

∴2x+2x=30，

≈5.49，

x+2x，

x，

解得：x=故选：B．

15．（2018•苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（

）

A．40海里

B．60海里

C．20海里

D．40海里

【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，

∴PB=2AB，

由题意BC=2AB，

∴PB=BC，

∴∠C=∠CPB，

∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，

∴∠C=30°，

∴PC=2PA，

∵PA=AB•tan60°，

∴PC=2×20×故选：D．

二．填空题（共17小题）

16．（2018•北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC

＞

∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）

=40（海里），

【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．

【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，

S△ANH=2×2﹣=PN=PN，

，

﹣×1×1=AH•NP，

Rt△ANP中，sin∠NAP=Rt△ABC中，sin∠BAC=====0.6，

=＞0.6，

∵正弦值随着角度的增大而增大，

∴∠BAC＞∠DAE，

故答案为：＞．

17．（2018•滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=

．

【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．

【解答】解：如图所示：

∵∠C=90°，tanA=，

∴设BC=x，则AC=2x，故AB=则sinB===．

．

x，

故答案为：

18．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为

S=x2

．

【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．

【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x

∴DE=x，CE=x，

∴BE=10﹣x，

∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣∵DF=BF，

∴S=S△BED=故答案为S=

19．（2018•无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2等于

15或10

．

，∠B=30°，则△ABC的面积x2x2，

．

x2+3x．

【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．

【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，

①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，

在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，

∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，

在Rt△ACD中，∵AC=2∴CD=则BC=BD+CD=6=，

，

=，

∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；

②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，

由①知，BD=5则BC=BD﹣CD=4，CD=，

，

∴S△ABC=•BC•AD=×4综上，△ABC的面积是15故答案为15

或10．

×5=10或10．

，

20．（2018•香坊区）如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为

5

．

【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG=DH=MG=列方程可得结论．

【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，，AG=CH=a+，根据AM=AG+MG，设CM=a，

∵AB=AC，

∴BC=2CM=2a，

∵tan∠ACB=2，

∴=2，

∴AM=2a，

由勾股定理得：AC=a，

S△BDC=BC•DH=10，

=10，

DH=，

∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°，

∴四边形DHMG为矩形，

∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG，

∴∠ADG=∠CDH，

在△ADG和△CDH中，

∵，

∴△ADG≌△CDH（AAS），

∴DG=DH=MG=，AG=CH=a+，

∴AM=AG+MG，

即2a=a++，

a2=20，

在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，

∵AD=CD，

∴2AD2=5a2=100，

∴AD=5或﹣5（舍），

故答案为：5．．

，DH=MG

21．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=

2

．

【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．

【解答】解：如图，连接BE，

∵四边形BCEK是正方形，

∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，

∴BF=CF，

根据题意得：AC∥BK，

∴△ACO∽△BKO，

∴KO：CO=BK：AC=1：3，

∴KO：KF=1：2，

∴KO=OF=CF=BF，

在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，

∵∠AOD=∠BOF，

∴tan∠AOD=2．

故答案为：2

22．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是

．

【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，

则sin∠BAC=故答案为：

23．BD是对角线，tan∠ABD=，（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=

17

．

【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，

∵tan∠ABD=，

∴=，

=．

，

设AH=3x，则BH=4x，

由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，

解得，x=4，

则AH=12，BH=16，

在Rt△AHD中，HD=∴BD=BH+HD=21，

∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，

∴∠ABD=∠CBH，

∴=，又BC=10，

=5，

∴BG=6，CG=8，

∴DG=BD﹣BG=15，

∴CD=故答案为：17．

=17，

24．（2018•广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=

．

【分析】根据直角三角形的性质解答即可．

【解答】解：∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，

∴tanC=故答案为：

，

25．（2018•枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为

6.2

米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】

【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．

【解答】解：在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°，

∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），

答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．

故答案为：6.2．

26．（2018•广西）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是

40

m（结果保留根号）

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．

【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，

则AB=AD=120m，

又∵∠CAD=30°，

∴在Rt△ADC中，

tan∠CDA=tan30°=解得：CD=40故答案为：40

=，

（m），

．

27．（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为

1200（﹣1）

米（结果保留根号）．

【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．

【解答】解：由于CD∥HB，

∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°

在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°

∴AH=CH=1200米，

在Rt△HCB，∵tan∠B=∴HB===1200=

（米）．

∴AB=HB﹣HA

=1200=1200（﹣1200

﹣1）米

﹣1）

故答案为：1200（

28．（2018•黄石）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为上，则A、B两点间的距离是

100（1+米，点A、D、E在同一水平直线）

米．（结果保留根号）

【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．

【解答】解：如图，

∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，

∴∠A=60°，∠B=45°，

在Rt△ACD中，∵tanA=∴AD==100，

，

）．

）米．

，

在Rt△BCD中，BD=CD=100∴AB=AD+BD=100+100=100（1+答：A、B两点间的距离为100（1+故答案为100（1+

）．

29．（2018•咸宁）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为

300

m（结果保留整数，≈1.73）．

【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．

【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，

∴BD=AD=110（m），

∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，

∴CD=AD•tan60°=110×=190（m），

∴BC=BD+CD=110+190=300（m）

答：该建筑物的高度BC约为300米．

故答案为300．

30．（2018•天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为

18

n mile．

【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可．

【解答】解：作AD⊥BC于D，

设AC=x海里，

在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=则CD=x，

x，

），解得，x=18海里．

，

x，

在Rt△ABD中，BD=则x+x=18（1+答：A，C之间的距离为18故答案为：18

31．（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行

小时即可到达．（结果保留根号）

【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．

【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，

在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），

所以

BQ=PQ﹣90．

在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=所以

PQ﹣90=所以

PQ=45（3+PQ，

）（海里）

）（海里）

PQ（海里），

所以

MN=PQ=45（3+在直角△BMN中，∠MBN=30°，

所以

BM=2MN=90（3+所以

故答案是：=．

）（海里）

（小时）

32．（2018•济宁）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是

km．

【分析】首先由题意可证得：△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°，求得答案．

【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，

∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，

∴∠CAB=∠ACB，

∴BC=AB=2km，

在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°=2×故答案为：．

=（km）．

三．解答题（共18小题）

33．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究关系的方法：

∵sinA=，sinB=

∴c=∴=，c=

与之间根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究之间的关系，并写出探究过程．

、、

【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．

【解答】解：

==，理由为：

过A作AD⊥BC，BE⊥AC，

在Rt△ABD中，sinB=在Rt△ADC中，sinC=∴csinB=bsinC，即同理可得则===，即AD=csinB，

，即AD=bsinC，

=，

，

．

34．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．

（1）求边AC的长；

（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．

【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；

（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．

【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，

在Rt△ABE中，tan∠ABC=∴AE=3，BE=4，

∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，

在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC=（2）∵DF垂直平分BC，

=；

=，AB=5，

∴BD=CD，BF=CF=，

∵tan∠DBF=∴DF=，

=，

=，

在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=∴AD=5﹣则=．

=，

35．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．

【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；

【解答】解：如图作CH⊥AB于H．

在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，

∴CH=BC=6，BH=在Rt△ACH中，tanA==∴AH=8，

=6，

，

∴AC==10，

．

∴AB=AH+BH=8+6

36．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°速．（参考数据：≈0.33，tan71°≈2.90）

BC=PCtan∠BPC=21，【分析】先求得AC=PCtan∠APC=87、据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．

【解答】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，

在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，

则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，

∴该汽车的实际速度为又∵40km/h≈11.1m/s，

∴该车没有超速．

37．（2018•绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．

=11m/s，

（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；

B之间的距离（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，（精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.732，≈2.449）

【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；

（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，

∴四边形ACDE是平行四边形，

∴AC∥DE，

∴∠DFB=∠CAB，

∵∠CAB=85°，

∴∠DFB=85°；

（2）作CG⊥AB于点G，

∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，

∴CG=，AG=10，

∵BD=40，CD=10，

∴CB=30，

∴BG=∴AB=AG+BG=10+10=，

≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，

即A、B之间的距离为34.5cm．

38．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2

（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？

【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=方程，求出方程的解即可．

xm，CD=BD=xm，得出【解答】解：

工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，

理由是：过B作BD⊥AC于D，

∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，

∴求出DB长和2.1m比较即可，

设BD=xm，

∵∠A=30°，∠C=45°，

∴DC=BD=xm，AD=∵AC=2（∴x++1）m，

+1），

BD=xm，

x=2（∴x=2，

即BD=2m＜2.1m，

∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．

39．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1

千米）（参考数据：≈141，≈1.73）

【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；

（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．

【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°=∴CD=BC•sin30°=80×AC=AC+BC=80+40，BC=80千米，

（千米），

（千米），

≈40×1.41+80=136.4（千米），

答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；

（2）∵cos30°=，BC=80（千米），

（千米），

∴BD=BC•cos30°=80×∵tan45°=∴AD=∴AB=AD+BD=40+40，CD=40（千米），

（千米），

≈40+40×1.73=109.2（千米），

AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：（千米）．

答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．

40．（2018•白银）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出CD及AD的长，进而可得出结论．

【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，

在Rt△ADC和Rt△BCD中，

∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，

∴CD=320，AD=320，

，

∴BD=CD=320，BC=320∴AC+BC=640+320∴AB=AD+BD=320≈1088，

+320≈864，

∴1088﹣864=224（公里），

答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．

41．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE

和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．

（1）求最短的斜拉索DE的长；

（2）求最长的斜拉索AC的长．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；

（2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长．

【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，

∴△BDE为等腰直角三角形，

∴DE=BE=×6=3．

m；

答：最短的斜拉索DE的长为3（2）作AH⊥BC于H，如图2，

∵BD=DE=3，

=15，

∴AB=3BD=5×3在Rt△ABH中，∵∠B=45°，

∴BH=AH=AB=×15=15，

在Rt△ACH中，∵∠C=30°，

∴AC=2AH=30．

答：最长的斜拉索AC的长为30m．

42．（2018•遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）

（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为

11.4

m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）

【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；

（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，

∵∠BAC=64°，AC=5m，

∴AB=故答案为：11.4；

（m）；

（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，

在Rt△ADE中，

∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，

∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），

即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），

答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度

是19.5m．

43．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．

（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；

（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时米，这一过程中风筝线的长度保风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10持不变，求风筝原来的高度C1D．

【分析】（1）在Rt△ACD中，由AD=（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9AD=BE==18+x，由cos∠CAD=可得答案；

+x，在Rt△BEF中求得可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsin∠CAD求得CD从而得出答案．

【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=∴AD====12（米），

米；

，AC=18、∠CAD=30°，

答：此时风筝线AD的长度为12

（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9在Rt△BEF中，BE=由题意知AD=BE=18+∵CF=10，

+x，

=x（米），

+x（米），

=18+x（米），

∴AC=AF+CF=10

由cos∠CAD=解得：x=3则AD=18++2可得，

+2=，

（3）=24+3，

，

∴CD=ADsin∠CAD=（24+3则C1D=CD+C1C=+=）×=，

米．

答：风筝原来的高度C1D为

44．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．

项目

课题

测量示意图

内容

测量斜拉索顶端到桥面的距离

说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．

测量数据

∠A的度数

38°

∠B的度数

28°

…

AB的长度

234米

…

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°考数据：≈0.5）

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．

【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出DC即可；

（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等

【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D．

设CD=x米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38°．

∵，∴．

在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28°．

∵，∴．

．

∵AD+BD=AB=234，∴解得x=72．

答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．

（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）

45．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，

≈1.4）

【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．

【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．

∵AB=CD，AB+CD=AD=2，

∴AB=CD=1．

在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，

∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．

在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，

∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴BE∥CM，

又∵BE=CM，

∴四边形BEMC为平行四边形，

∴BC=EM，CM=BE．

在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，

∴EM=≈1.4，

∴B与C之间的距离约为1.4米．

46．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）

【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．

【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，

易得四边形AHEF为矩形，

∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，

∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，

在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，

∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），

答：操作平台C离地面的高度为7.6m．

，

47．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与

地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．

（1）求点M到地面的距离；

（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）

【分析】（1）构建直角△OMN，求ON的长，相加可得BN的长，即点M到地面的距离；

（2）左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．

【解答】解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，

Rt△OMN中，∠NOM=60°，OM=1.2，

∴∠M=30°，

∴ON=OM=0.6，

∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；

即点M到地面的距离是3.9米；

（2）取CE=0.65，EH=2.55，

∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，

过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，

∵∠GOP=30°，

∴tan30°=∴GP==，

≈0.404，

OP=∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，

∴货车能安全通过．

48．（2018•徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732

【分析】利用锐角三角函数，在Rt△CDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF．利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽．

【解答】解：在Rt△CDE中，

∵sin∠C=，cos∠C=

∴DE=sin30°×DC=×14=7（m），

CE=cos30°×DC=×14=7≈12.124≈12.12，

∵四边形AFED是矩形，

∴EF=AD=6m，AF=DE=7m

在Rt△ABF中，

∵∠B=45°

∴DE=AF=7m，

∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）

答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．

49．（2018•河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．

如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）

BF的长．【分析】利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、计

算出EF．通过矩形CEFH得到CH的长．

【解答】解：在Rt△ACE中，

∵tan∠CAE=∴AE=，

=≈≈21（cm）

在Rt△DBF中，

∵tan∠DBF=∴BF=，

=≈=40（cm）

∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）

∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF

∴四边形CEFH是矩形，

∴CH=EF=151cm

答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm．

50．（2018•嘉兴）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．

（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）

（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）

【分析】（1）只要证明△CFP1是等腰直角三角形，即可解决问题；

（2）解直角三角形求出CP2的长即可解决问题；

【解答】解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0=2m，

如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．∵∠1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°，

∴∠AP1E=115°，

∴∠CP1E=65°，

∵∠DP1E=20°，

∴∠CP1F=45°，

∵CF=P1F=1m，

∴∠C=∠CP1F=45°，

∴△CP1F是等腰直角三角形，

∴P1C=m，

≈0.6m，

∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．

（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．

∵P2E∥AB，

∴∠CP2E=∠CAB=90°，

∵∠DP2E=20°，

∴∠CP2F=70°，作FG⊥AC于G，则CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m，

∴P1P2=CP1﹣CP2=﹣0.68≈0.7m，

即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．