反比函数在物理学中的应用教学设计第二课时

26．2

实际问题与反比例函数

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．能运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题．

2．建立反比例函数模型，解决实际问题．

3．综合运用反比例函数知识与几何、方程、不等式、物理等跨学科知识解决相关的实际问题．

【过程与方法】

1．经历利用反比例函数解决实际问题的过程，学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到的问题，体验数学建模的思想．

2．经历“实际问题——建立模型——求解模型——拓展应用”的过程，增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力．

【情感态度与价值观】

1．通过将反比例函数的有关知识灵活应用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．

2．体会数学与实际生活紧密联系，经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会数学中转化和数形结合的思想．

二、重难点目标

【教学重点】

运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题和跨学科问题．

【教学难点】

根据实际问题建立反比例函数的数学模型．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P12～P15的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

k1．(1)反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是双曲线；

x(2)当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；

(3)当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而

增大；

V2．地下室的体积V一定，那么底面积S和深度h的关系是反比例函数；表达式是S＝. hs3．运货物的路程s一定，那么运货物的速度v和时间t是反比例函数；表达式是v＝. t4．电学知识告诉我们，用电器的输出功率P、两端的电压U和电器的电阻R有如下关U2U2系：PR＝U.这个关系式还可以写成P＝，或R＝. RP2环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) (一)反比例函数模型在生活中的应用

【例1】市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．

(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？

(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石．为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?

【温馨提示】详细解答过程见教材P12例1. 【例2】码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．

(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？

(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天要卸载多少吨？

【温馨提示】详细解答过程见教材P13例2. (二)反比例函数在物理中的应用

【例3】小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？

(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？

【温馨提示】详细解答过程见教材P14例3. 【例4】一个电器的电阻是可调节的，其范围为110～220 Ω.已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．

(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？

(2)这个用电器功率的范围是多少？

【温馨提示】详细解答过程见教材P15例4. 活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是(

C

) A．小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系

B．菱形的面积为48 cm2，它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系

C．一个玻璃容器的体积为30 L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系

D．压力为600 N时，压强p与受力面积S之间的关系

2．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是(

A

)

13．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x，高为y，则y与x的390函数关系是y＝. x4．实验表明，当导线的长度一定时，导线的电阻与它的横截面面积成反比例．一条长为100 km的铝导线的电阻R(Ω)与它的横截面面积S(cm2)的函数关系如图所示，那么当S＝5 cm229时，R＝

Ω.

5

5．在某一电路中保持电压不变，电流I(A)与电阻R(Ω)将如何变化？若已知当电阻R＝5 Ω时，电流I＝2 A. (1)求I与R之间的关系式；

(2)电阻是8 Ω时，电流是多少？

(3)如果要求电流的最大值为10 A，那么电阻R的最小值是多少？

解：(1)由物理知识知U＝IR. ∵R＝5，I＝2，∴U＝5×2＝10，

∴I与R之间的关系式为I＝10(R>0)．

R10(2)当R＝8时，I＝＝1.25，

8∴电流是1.25 A. 10(3)当I＝10时，R＝＝1，

10∴电阻的最小值为1 Ω.

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例5】如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y

℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为4 ℃，加热一段时间使材料温度达到28 ℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14 ℃.

(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；

(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12 ℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？

【互动探索】

(1)材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系，将题中数据代入即可求得两个函数的关系式；(2)把y＝12分别代入两个函数关系式中，求出对应自变量的值，从而可得对该材料进行特殊处理所用的时间．

k1【解答】

(1)设加热停止后反比例函数表达式为y＝(k1≠0)．

xk1∵y＝过(12,14)，

x∴k1＝12×14＝168，则y＝168. x168当y＝28时，28＝，解得x＝6. x设加热过程中一次函数表达式为y＝k2x＋b(k2≠0)．

由图象知y＝k2x＋b过点(0,4)与(6,28)，

b＝4，k2＝4，∴解得

6k2＋b＝28，b＝4，

即一次函数的关系式为y＝4x＋4. 4x＋40≤x≤6，∴y＝168

xx>6.(2)令12＝4x＋4，解得x＝2. 168令12＝，解得x＝14. x∴对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 建立反比例函数模型，解决实际问题的一般步骤：

(1)审题：弄清题意，分析问题中等量关系；

(2)建模：根据等量关系，将实际问题转化为数学问题，利用反比例函数知识建立数学模型；

(3)解模：根据反比例函数的性质解决问题．

练习设计

请完成本课时对应练习！