正弦、余弦、正切函数的简单应用教学设计与反思

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德庆县悦城中学

28.2解直角三角形（3）

教学目标：

1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。

2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。

3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法。

教学重点：

理解坡度和坡角的概念。

教学难点：

利用坡度和坡角解决有关实际问题。

教学过程：

一、新知引入

你觉得哪幅图的坡更好爬？为什么？（教师展示ppt）

我们知道坡越陡，倾斜的角度越大，那与我们直角三角形有什么联系呢？我们一起来探索吧！

二、新知讲解

知识1：基本概念：

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示。

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则i=如图，坡度通常写成i=h:l的形式。

h=tan

l

※注意：①(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.

②坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆． 巩固练习：试一试，你最棒！

1、斜坡的坡度是1：3，则坡角α=______度。（答案：30）

2、斜坡的坡角是45，则坡比是_______。（答案：1:1）

3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。（答案：1：3）

知识2：如何解决实际生活中的坡度、坡角问题？

解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，如，我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？

我们设法“化曲为直，以直代曲”．

把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1. 在每小段上，都构造直角三角形，利用上面的方法算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，它在数学中有重要地位。（教师展示PPT，让学生理解就可以！）

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三、例题讲解

例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β; （2）斜坡AB的长（保留根号）

巩固练习：

1.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡AB的水平宽度BE=33m，

那么斜坡AB长为_________m．(答案：1.6) 2.某建筑物门口有一无障碍通道，通道的斜坡长为a m，通道的最高点距水平地面b m，若a：b=37：1，该通道的坡比是________.(答案：1:6)

1题 2题 3题 4题

3.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面2 m高的B处，

则物体从A到B所经过的路程为（ ）(答案：C) A.6 m B. m C.2 m D.3 m 4.如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD，DA=CB，DC∥AB，DA=5，DC=4，AB=9，则斜坡DA 的坡角为_________°.(答案：60) 5.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．

（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？

（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,参考数据：2≈1.414，3≈1.732，4≈2.449）

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●总结：解类似的直角三角形时常用到的思想和方法

1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 四、巩固练习、

课本77页第1题

如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C，见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？

应用提高：

1.已知东西海岸线上有相距7 km的A、B两个码头，灯塔P距A码头13 km，在B码头测得灯塔P在北偏东45°方向，则灯塔P到海岸线的距离为________km.(答案：5或12) 2.一只兔子沿OP（北偏东30°）的方向向前跑．已知猎人在Q（1，3）点挖了一口陷阱，问：如果

兔子继续沿原来的方向跑，________ （填“有”或“没有”）危险？(答案：有) 2题 3题 4题

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3.如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝ 400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？

解：依题意得：∠AMN＝30°，∠ABN＝45°，过点A作AC⊥MN于点C，在Rt△ACABC中，tan∠ABC＝，∴BC＝AC，由MB＝MC－BC，得3AC－AC＝400，∴AC＝200(3BC＋1)≈546＞500，∴不改变方向，输水路线不会穿过居民区．

4.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)．

(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 解：(1)过C作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE·tan60＝3x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝3x.∴AE＋BE＝x＋3x＝100(3＋1)，解得：x＝100，AC＝2x＝200，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝3y，∴AC＝y＋3y＝200，解得：y＝100(3－1)，∴AD＝2y＝200(3－1)(2)由(1)可知，DF＝3AF＝3×100(3－1)≈127，∵127＞100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险

BE(2)在Rt△BDE中，BD＝≈25.2cm.故滑动支架长25.2cmsin25°

五、课堂小结

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案．

六、布置作业

1.堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（ ）

A.

1;3 B.1:2.6 C.1:2.4 D.1:2

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6.由于2013年第30号强台风“海燕”的侵袭，致使多个城市受到影响. 如图所示，A市位于台风中心M北偏东15°的方向上，距离612千米，B市位于台风中心M正东方向603千米处. 台风中心以每小时30千米的速度沿MF向北偏东60°的方向移动（假设台风在移动的过程中的风速保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强烈台风的影响. （1）A市、B市是否会受到此次台风的影响？说明理由. （2）如果受到此次台风影响,该城市受到台风影响的持续时间为多少小时?

北A

EF

MB

北AEFMB5