回顾与思考国家优质课一等奖

第二章

一元二次方程小结与复习

知识梳理

1．只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是__________________，其中_________是二次项，_________是一次项，_________是常数项，_________是二次项系数，_________是一次项系数．

3．一元二次方程的解法有：_____________、__________、___________和___________．

4．一元二次方程ax2bxc0（a0）的求根公式是___________．

温馨提示：

用公式法解方程时，先必须满足b24ac≥0．否则，此时方程无解．

5．一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况与b24ac的关系：

①b24ac_____0一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个不相等的实数根；

②b24ac____ 0一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个相等的实数根；

③b24ac_____0一元二次方程ax2bxc0（a0）没有实数根．

6．一般的，对于关于x的一元二次方程x2pxq0（p、q为已知常数，p24q≥0），那么x1 + x2 =_______, x1·x2 =_______．

7．利用方程解决实际问题的关键是找__________，一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答．

考点呈现

一、一元二次方程的定义

例1

下列方程中是关于x的一元二次方程的是（

）

A．x210

x2

B．ax2bxc0

D．3x22xy5y20

C．(x1)(x2)1

分析：一元二次方程必须满足四个条件：①含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程；④二次项系数不为0．根据这四个条件即可判断．

解：A项原方程不是整式方程；B项当a = 0时，原方程就不是一元二次方程；D项原方程中含有两个未知数．故选C．

二、一元二次方程的根

例2

关于x的方程x2mx2m20的一个根为1，则m的值为（

）

A．1

B．111

C．1或

D．1或

222分析：根据方程根的定义，可以把x = 1代入方程x2mx2m20中，得到关于m的方程，解方程求出m值即可．

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解：把x = 1代入方程，得1m2m20，即2m2m10，解得m=1或．故选D．

三、一元二次方程的解法

例3

解方程：x(x2)x20．

分析：本题可以把x2看做一个整体用因式分解法，也可以化为一元二次方程的一般形式后，再运用公式法求解．

解法一：分解因式，得

(x2)(x1)0. 即x20或x10，

∴x12，x21．

解法二：原方程可化为x2x20．

121(1)241(2)13∴x ==. 212∴x12，x21．

四、一元二次方程根与系数的关系

2例4

已知x1、x2是方程x6x30的两个实数根，则x2x1的值等于（

）

x1x2A．6

B．－6

C．10

D．－10 分析：将x2x1进行变形，使之出现x1x2与x1x2，利用根与系数的关系代入求值．

x1x2解：由根与系数的关系，得x1x26，x1x23，

x2x1x22x12(x1x2)22x1x2(6)22310．故选C．

∴

===3x1x2x1x2x1x2例5

已知关于x的方程x+ (2k + 1)x + k2 = 0的两实根的平方和等于11，则k的值为

____

．

分析：由根与系数的关系，可得x1+x2 = (2k + 1)，x1x2 = k2，再根据x12x2211可得关于k的方程，从而解出k值．

解：根据根与系数的关系，得x1+x2 = (2k + 1)，x1x2 = k2．

∵x12x2211，

∴(x1x2)22x1x211. ∴[(2k + 1)]2 –2(k2) =11，即k2 + 2k

 3 = 0，解得k = 1或k =3．

当k = 1时，原方程为x23x10，此方程有实数根；

当k =3时，原方程为x25x70，该方程没有实数根，k =3舍去．故k的值为1．

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2222 2

五、一元二次方程的应用

例6

随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2009年底报名人数为3 200人，截止到2011年底报名人数已达到5 000人．

（1）若该驾校2009年底到2011年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．

（2）若该驾校共有10名教练，预计在2012年底每个教练平均需要教授多少人？

分析：（1）2009年底报名人数×（1＋增长率）2＝2011年底报名人数，把相关数据代入求解即可；

（2）先求出2012年底的报名人数，除以10即可求出每个教练平均需要教授的人数．

解：（1）设该驾校的年平均增长率是x．由题意，得3 200（1+x）2=5 000．

解得x1=19=25%，x2=（舍去）．

44∴该驾校的年平均增长率是25%．

（2）5 000×（1+25%）÷10=625（个）．

∴预计2012年每个教练平均需要教授625个学员．

误区点拨

一、忽视二次项系数a0

例1

已知关于x的一元二次方程(m1)x2x10有实数根，则m的取值范围是_____________．

错解：由b24ac≥0，得14(m1)≥0，解之得m≤5．

4剖析：因为方程为一元二次方程，所以二次项系数m1≠0，即m≠1．错解忽视了二次项系数不为0的条件．

正解：m≤5且m≠1．

4二、错用等式的性质导致丢根

例2

方程x(x6)= x的解是（

）

A．x = 0 C．x = 7

B．x = 0或x = 6

D．x = 0或x = 7 错解：方程两边除以x，得x61，所以x=7，故选C．

剖析：上面解法中，方程两边同除以x，而当x = 0时，方程两边都除以0是没有意义的．易知x = 0也是原方程的一个根，所以错解中丢了一个根．

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正解：移项，得x(x6)x0，提公因式，得x(x61)0，即x(x7)0，所以x = 0或x = 7，故选D．

三、忽视平方根的性质

例3

一元二次方程x2－16= 0的解是（

）

A．x1 = 4，x2= 4

B．x= 4

C．x

= 4

D．

x1 = 4，x2 = 0 错解：由x2－16 = 0，得x2 =16. 直接开平方，得x = 4，应选C．

剖析：用直接开平方法解方程，要注意平方根的性质，本题中16的平方根有两个，它们是±4，上述解法漏掉了一解．

正解：由x2－16= 0，得x2 = 16，直接开平方，得x =±4. 故应选A．

四、配方前二次项系数未化1 例4

用配方法解方程：2x2－7x＋6 = 0．

错解：移项，得2x27x6．

77两边都加上一次项系数一半的平方，得2x7x6.

22222725即2x. 24直接开平方，得2x即2x275. 227575．

222所以x13，x21．

2剖析：用配方法解方程首先要将一元二次方程的系数化为1，然后再配方，上述解法错误在于忽视了二次项系数．

正解：二次项系数化为1，得x移项，得x227x30．

27x3．

2222777方程左边配方，得xx3，

244即(x)7421．

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71．

443所以x12，x2．

2开方，得x五、忽视检验根的合理性

例5

关于x的一元二次方程x2mx2m10的两个实数根分别是x1、x2，且x12x227，则m的值是（

）

A．1

B．5

C．1或5

D．1或5

错解：由根与系数关系，可知x1 + x2 = m，x1·x2 = 2m1. 又x12x227，所以（x1 + x2）2－2x1x2 = 7，所以m2－2（2m 1）= 7，解得m = 5或m =1．故选C．

剖析：利用根与系数的关系解题的前提条件是判别式△≥0.

上述错解忽视了“方程有实根”这一条件，事实上，m = 5时原方程无实根．

正解：由根与系数关系，可知x1 + x2 = m，x1·x2 = 2m1. 又x12x227，所以（x1 + x2）2－2x1x2 = 7，所以m2－2（2m 1）= 7，解得m = 5或m =1. 当m = 5时，方程为x25x90，此方程没有实数根，m = 5舍去；

当m =1时，方程x2x30，此方程有实数根，所以m =1．故选A．

跟踪训练

1．方程(x1)(x2)x1的解是（

）

A．2

B．3

C．1，2

D．1，3 2．方程2x25x30的解是

．

3．已知a，b是一元二次方程x22x10的两个实数根，则代数式(a  b) (a + b  2) + ab的值等于________. 4．关于x的一元二次方程x2 + 2x + k + 1= 0的实数解是x1和x2．

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+ x2  x1x2＜1且k为整数，求k的值．

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5. 某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．

（1）设该经营户将每千克小型西瓜降价x元，请用代数式表示每天的销售量；

（2）若该经营户每天的房租等固定成本共24元，该经营户想要每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

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