1.3 解直角三角形优质课一等奖

新课标（ZJ）/数学/九年级上、下册合订

1.3

解直角三角形

第1课时

解直角三角形

知识点

已知一边一角或两边解直角三角形

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为(

) 7A．7sin35°

B.

C．7cos35°

D．7tan35°

cos35°2．[2016·沈阳]

如图1－3－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(

) 43A.

B．4

C．83

D．43 3

图1－3－1 3．图1－3－2是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝则边BC的长为(

) 3，3

图1－3－2 A．30 3 cm

B．20 3 cm

C．10 3 cm

D．5 3 cm

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，c＝10，∠A＝45°，则a＝________，b＝________，∠B＝________°. 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝6，b＝2 3，则∠B的度数为________．

36．如图1－3－3，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4 cm，tanB＝，则△ABC的面2积是________cm2.

图1－3－3 7．如图1－3－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形．

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(1)∠A＝60°，b＝4；

12(2)a＝，c＝；

33(3)c＝2 2，∠B＝30°；

343(4)a＝8，sinB＝(sin53°≈，cos53°≈)．

555

图1－3－4

8．等腰三角形的腰长为2 3，底边长为6，则底角等于(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

19．如图1－3－5，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，2sin∠ABD等于(

)

图1－3－5 31033 10A.

B.

C.

D.

55101010．[2016·东营]

如图1－3－6，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点3F处，已知折痕AE＝5 5 cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为________cm. 4

图1－3－6 11．如图1－3－7，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝

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145°，sinB＝，AD＝1. 3(1)求BC的长；

(2)求tan∠DAE的值．

图1－3－7

12．如图1－3－8，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．

图1－3－8

13．[2016·丽水]

数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图1－3－9，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

图1－3－9

14．已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC. 1(1)若cosB＝，且△ABC的周长为24，求AB的长度；

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(2)若tanA＝

5，且BC＝2 3，求AB的长度．

2

15．为了解决停车难问题，交通部门准备沿宽12米、长60米的道路边规划停车位，按每辆车长5米、宽2.4米设计停车后，道路仍有不少于7米的路宽，以保证两车可以双向通过，如图1－3－10设计方案一：车位长边与路边夹角为45°；方案二：车位长边与路边夹角为30°. (1)请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？

(2)计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车？

图1－3－10

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教师详答

1．C BC2．D

[解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cosB＝，即cos30°AB＝BC，

8∴BC＝8×3＝4 3. 2BC3．C

[解析] 在ktABC中，根据三角函数的定义可知tan∠BAC＝. AC又AC＝30 cm，tan∠BAC＝则BC＝AC·tan∠BAC＝30×故选C. 4．5 2

5 2

45 b5．30°

[解析] ∵tanB＝，b＝2 3，a＝6，

a2

33∴tanB＝＝，∴∠B＝30°. 6336．12

[解析] 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，tanB＝，

23ACAC∴tanB＝＝＝，

2BC4∴AC＝6 cm，

1∴△ABC的面积是×4×6＝12(cm2)．

27．解：(1)∵∠A＝60°，∠C＝90°，

∴∠B＝30°. b41∵b＝4，sinB＝，∴＝，

cc2解得c＝8，

∴a＝82－42＝4 3. 12(2)∵a＝，c＝，

331∴b＝c2－a2＝，

3a122∴sinA＝＝÷＝，

c332∴∠A＝45°，

∴∠B＝45°. b1b(3)∵∠B＝30°，c＝2 2，sinB＝，∴＝，∴b＝2，∠A＝60°，

c22 23，

33＝10 3(cm)．

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∴a＝c－b＝22(2 2)－(2)，6. 223b(4)∵sinB＝＝，a＝8，令b＝3k，c＝5k，

5c∴a＝c2－b2＝4k，∴k＝2，∴b＝6，c＝10，

a84∴sinA＝＝＝，

c105∴∠A≈53°，∠B≈90°－53°＝37°.

8．[全品导学号：70392265]A

[解析] 如图所示，△ABC中，AB＝AC＝2 3，BC＝6，过点A作AD⊥BC于点D，

11则BD＝BC＝×6＝3，

22BD33cosB＝＝＝，

AB2 32∴∠B＝30°，故选A. 9．[全品导学号：70392266]A

[解析] 过点D作DE⊥AB于点E. ∵∠CBD＝∠A，

BCCDDE1∴tanA＝tan∠CBD＝＝＝＝. ACBCAE2设CD＝1，则BC＝2，AC＝4，

∴AD＝AC－CD＝3. 在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝16＋4＝2 5. 在Rt△ADE中，设DE＝x，则AE＝2x，

∵AE2＋DE2＝AD2，

∴(2x)2＋x2＝9，

3 53 56 5解得x＝，则DE＝，AE＝，

555∴BE＝AB－AE＝2 5－DE3∴tan∠DBA＝＝，

BE43∴sin∠DBA＝. 5310．[全品导学号：70392267]36

[解析] ∵tan∠EFC＝，∴设CE＝3k，则CF＝4k，由4勾股定理得EF＝DE＝5k，

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6 6 54 5＝，

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∴DC＝AB＝8k. ∵∠AFB＋∠BAF＝90°，∠AFB＋∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝tan3∠EFC＝，∴BF＝6k，∴AF＝BC＝AD＝10k. 4在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝AF2＋EF2＝125k2＝5 5，解得k＝1，

故矩形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(8k＋10k)＝36(cm)．

11．[全品导学号：70392268]解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，

∴DC＝AD＝1. 在△ADB中，

1∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，

3AD∴AB＝＝3，

sinB∴BD＝AB2－AD2＝2 2，

∴BC＝BD＋DC＝2 2＋1. (2)∵AE是BC边上的中线，

11∴CE＝BC＝2＋，

221∴DE＝CE－CD＝2－，

2DE1∴tan∠DAE＝＝2－. AD212．[全品导学号：70392269]解：在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝132－122＝5，sinBC5∠BAC＝＝. AB13∵∠BCM＝∠BAC，

5∴sin∠BCM＝sin∠BAC＝. 13过点B作BE⊥MC于点E，BE＝BC·sin∠BCE，

525∴BE＝5×＝. 131313．[全品导学号：70392270]解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，

BCAC＝＝2 3，则EF＝AC＝2 3. tanA∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝6，

∴AF＝AC－FC＝2 3－6. 14．[全品导学号：70392271]解：(1)过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∴∠ADB＝90°.

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BD1∴在△ABC中，cosB＝＝，设BD＝k，则AB＝3k. AB3∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC＝k. ∵△ABC的周长为24，

∴AB＋AC＋BC＝24，

∴3k＋3k＋2k＝24，

即8k＝24，∴k＝3，∴AB＝9. (2)过点B作BH⊥AC于点H，

∴∠AHB＝90°. BH5在△AHB中，tanA＝＝，

AH2设BH＝5k，则AH＝2k. 在Rt△AHB中，AB＝AH2＋BH2＝3k. ∵AB＝AC，∴CH＝AC－AH＝k. ∵在△BHC中，BH＝5k，CH＝k，BC＝2 3，

且∠BHC＝90°，∴BH2＋HC2＝BC2，

即5k2＋k2＝12，

解得k＝2，

∴AB＝3 2. 15．[全品导学号：70392272]解：(1)方案一：

如图，AB＝2.4×sin45°＝2.4×AE＝5×sin45°＝5×2≈1.7(米)，

22≈3.5(米)，

2BE＝AB＋AE≈5.2米．

∵12－5.2＜7，

∴方案一不能保证通行要求．

方案二：

AB＝2.4×cos30°＝2.4×3≈2.1(米)，

21AE＝5×sin30°＝5×＝2.5(米)，

2BE＝AB＋AE＝2.1＋2.5＝4.6(米)．

∵12－4.6＝7.4＞7，

∴方案二能保证通行要求．

1(2)BC＝2.4×sin30°＝2.4×＝1.2(米)，

2MC＝5×cos30°＝5×3≈4.3(米)，

2MB＝BC＋MC≈1.2＋4.3＝5.5(米)，

60÷5.5≈10.9(辆)．

故方案二中最多可以停10辆车．

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