回顾与思考优质课教案整理

人教版八年级上册《最短路径问题》教学设计

广州市第二十一中学 李钧灵

一、教学目标

1.教学重点：

利用轴对称变换或平移解决线段和的最小值问题. 2.教学难点：

(1)如何把直线的同侧问题转化为异侧的问题，再利用“两点之间，线段最短”找出最短路径问题. (2) 最短路径问题中位置的确定及证明. 3.知识目标：

能利用所学轴对称或平移的知识解决简单的最短路径问题. 4.过程与方法：

通过动手操作、试验、探索、验证，如何把问题转化为“两点之间，线段最短”；通过小组讨论、交流、合作解决利用轴对称变换解决线段和的最小值问题；培养学生数形结合、转化与化归的数学思想；发展学生分析和解决问题的综合能力. 5.情感目标：

通过学生的主动参与，师生、生生之间的合作交流，提高学生的学习积极性；通过体验数学活动充满探索与创造，认识数学与生活的密切关系；感受解决实际问题的喜悦.进一步加强学生探索数学知识的精神，以及提高学生的数学学科素养。

二、教学策略设计

1.思路：

(1)通过思考、探究、验证等数学活动让学生感受数学活动的经验，学生通过自主探究、合作交流等方式完成学习任务，并逐步养成良好的学习习惯. (2)结合学生的实际情况，将问题难度降低，并由浅入深，让学生自行操作相关的数学几何软件，使学生的学习积极性有一定程度的提高，逐步培养学生的动手能力和思维能力. (3)在巩固和强化学生的基础知识和基本技能之余，在教学中通过层层的铺垫过渡，逐步地渗透数形结合与转化思想. 2．策略：充分利用多媒体技术，如课件、几何画板等引导学生对问题进行思考和分析.启发和激励学生自主学习、合作交流去解决实际问题.

3.教学过程：

教学活动

活动一

课前预备

师生行为

培训学生学会操作几何画板：

1.利用几何画板画出点、线段、构造线段交点、线段中点，线段垂线、点关于直线l的对称点

2.利用几何画板测量一段线段的长度，两段线段的和的长度

（老师讲解，学生边听边操作）

设计意图

老师讲授几何画板的作图方法，学生边听边操作，帮助学生熟悉几何画板，为下面的学习打下

活动二

知识回顾

活动三

学习探究

（1）提出问题

（2）分析问题

（3）解决问题

1 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

坚实的基础. 通过两个具体的题目让学生回忆初一所学的“两点之间，线段最短”的重要原理，强调轴对称的性质与作用（把线段AP通过轴对称翻折到直线的另外一侧；保持线段长度不变）

”.

以实际生活中的方案选择引起学生的学习兴趣.学生运用几何画板动手探究，验证“两点之间线段最短

2 如图所示，点A与点A’关于直线L对称，点P是直线L上任意一点，AP=3，则A’P=

问题1：如图，牧马人从马棚A牵马到河边

l 饮水，然后再到帐篷B．问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？（河流的宽度忽略不计） A

师：能将这个实际问题抽象为数学问题吗？

生：马棚A、帐篷B抽象成两个定点A、B，将河流抽象为直线l，找AB两点的最短距离。

师：你的做法是什么？为什么？

生：直接连接AB两点,因为“两点之间线段最短”。

师：非常好，这个问题我们利用“两点之间线段最短”轻而易举地解决了。

（随着季节的变化，游牧民族的帐篷要搬到河对岸）

【合作探究】

老师引导学生运用几何画板验证“两点之间线段最短”，从而加深印象. B

问题2：如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐篷B．问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？

师：要解决这个实际问题，我们应该先怎么做？

生：先将实际问题转化为数学问题。

师：对，具体的应该怎么说？跟问题1一样吗？

生：不一样。还是将马棚A、帐篷B抽象成两个定点A、B，

将河流抽象为直线l，在直线l上找一点C，使得AC+BC最小。

师：好，自己先在学案上画图，之后请用几何画板作图看看

能否找到合适的C点，为了更好地说明问题，老师已经设定问题2 好点A，B，直线l的位置，（已经设置好AC+BC最小值为10）寻找符合条件的点，然后小组交流，学生同学们在作图过程中不要动了它们的位置。

代表汇报交流结果，师生共同补充. 生:……

在作图过程中，出现比较经典的三个错误：

错误1：过点A作直线l的垂线，垂足为C，则AC+BC最小

引导学生独立思考，尝试运用几何画板

作图，把错误的作图数据说明：

方法截取出来，让学生自行找出原因，还可以通过数据大小来说明问题，否定了三种错误的作图方

法。

错误2：作线段AB的中垂线，与直线l的交点为点C （展示错误的作图方法，学生会更能印象深刻地理解最短路径问题）

数据说明：

通过数据的比较可以排除错误的作图方法

错误3：过点A作直线l的垂线，垂足为M，过点B作直线l的垂线，垂足为N，

数据说明：

师：这三个方法对吗？

生：不对。

师：问题在哪？

生：第一个作法只能说明点A到直线l最短距离是AC；第二个作法只能说明AC=BC；第三个做法只能说明点A到直线l最短距离是AM，点B到直线l最短距离是BN，还有CM=CN，三个都不能说明AC+BC最小。

师：对！不错！我们其实还可以通过什么来说明这不是最小距离？我们还可以通过观察什么呢？

生：数据，11.17，10.62，10.17都不是最小的，我们有找到

师：怎么找到10是最小距离？我们一起探讨一些。

生：好！

师：大家重新看看问题1和问题2最大的不同是什么？

生：问题1是直线异侧两点，问题2是直线同侧两点。

师：那我们能把同侧两点化为异侧呢？比如把点A从直线上

方翻到下方？

生：嗯……

师：可以通过什么变换达到吗？而且还要保持线段AC的长老师一步一步度不变？

地引导学生探索正确的作图方法，把直生：哦，轴对称变换！

线同侧两点的问题师：对，很好！就是用我们回顾知识中的轴对称变换！现在转化成异侧两点的问题，再把问题转化可以找到作图步骤了吗？

为“两点之间，线段生：（1）作点B(或A)关于直线L的对称点B’(或A’)（2）最短”

连接AB’(或BA’)与直线L相交于点C，则AC+BC最短

师：不错！

师：下面请同学们在几何画板上作出正确作图，并小组讨论

利用几何画板验证它的正确性。

生：怎么验证？

师：就是说明作轴对称点后的连线与直线l的交点就是最佳

点，可以怎么操作？小组讨论。

最后师生共同探讨出验证方法：

1 作点C，

2 作线段AC，BC 引导学生利用几何3 测量AC，BC，AC+BC的距离

画板验证轴对称找4 作点A关于直线L的对称点A’

最短路径的正确性，5 作线段A’C，测量A’C，A’C+BC，A’B的距离，

从数据上说明问题。6 拖动点C，观察AC，A’C的关系

让学生小组讨论出7拖动点C，观察C在什么位置时AC+BC最小？

验证方法，使其印象（A’，B，C三点共线时）

更深刻

8 如何证明三点共线？（A’C+BC=A’B）

10的。

能用所学的知识严格证明你的结论吗？

教师引导在直线l上任取一点C’，师生共同分析，并给出

证明过程：

通过上面几何画板的验证操作，学生能比较好地找到严格的证明方法，从而从感性认识上升到理性认识

证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连

接AC′，BC′，B′C′．

由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．

在△AB′C′中，

AC′+B′C′>AB′，

AB′= AC+B’C= AC+BC

∴AC′+BC′> AC+BC．即AC+BC最短．

【合作探究】

1小组讨论交流，利用做对称点（轴对称变换）将直线同侧

两点的情况转化为较为简单的直线异侧两点的情况，利用“两

点之间线段最短”可以将“折”的线转化为“直”的线，从

而寻找符合条件的点。

2 利用几何画板验证轴对称变换作图的正确性,使得学生更

好地掌握严格的证明方法！

师：我们一起来总结一下问题2的解决方法：

对问题2小结，可以

让学生更加系统地

掌握最短路径的实

际问题应该如何解

决

师：这是几何画板可以从数据上说明这个作法的正确性，你活动四：

运用新知

1.即时练习

1 如图，直线L是一条河，P、Q是两个村庄，欲在L上的练习1最基础的练某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，如何设计路线使得习，让学生巩固印象

所需管道最短，请画出来

2 巩固练习

2 如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径。

(学生独立完成）

3 如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

分析：

4 如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．

练习2主要锻炼学生学会提取有用的信息，排除图中没用的干扰信息，抽象出来已知直线同侧两点，求取最短路径

练习1，2都是已知一条直线，两个定点求最短路径的问题，练习3在这基础上增加一条直线，减少一个定点，先让学生自行解决，有点困难，引导学生通过轴变换把角内部的点翻折到角外部，可以通过两条已知直线的轴对称得到两个对称点，通过线段的相等关系把三角形的周长问题转化成两点间的距离问题

练习4在练习3的基础上增加了一个定点，解决的方法不变，但这题要先抽象

3 变式练习

出有用的数学模型

（学生讨论，教师提点完成）

5 如图小明参加一个户外跑步、游泳的综合体育竞技比赛，

从起点A地跑步出发，到小河L处游泳200m(图中PQ的距离)，

再上岸跑步到终点B，请你为他设计一条最佳线路帮助他赢

得比赛. 解决涉及到固定长

度的连接河同侧两

个点的最短路径问

题时，可以通过平移

的方法先处理掉固【合作探究】

引导学生分析题目的条件与问题，做出适当的平移处理，定长度，从而转化为把PQ的固定长度巧妙地化解开去，从而巧妙地转化成直线同求直线同侧的两点侧的最短路径问题

平移只是问题实现转化中的一个重要策略，怎么联想到到直线上一点所连平移的？其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻线段的和最小的问理解．从这点上说，同学们是值得认真体会和积累的

(学生小组讨论完成）

题，该题对解决选址

造桥问题起着重要的启示作用。

活动五

4.总结提升

引导学生归纳出求最短路径的基本图形、常见图形、变式图形：

学生自己总结归纳解决问题的过程，有利于其更好

地掌握本课内容.

附：课后作业

1 如图，在△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，并说明理由

2 某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

3 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

三、教学设计流程图

课前准备

知识回顾

学习探究

创设情景

提出问题

抽象数模

动手操作

几何画板

分析问题

转化问题

合作交流

严格验证

解决问题

运用新知

总结提升

四、板书设计

结束

最短路径问题

1原理：

（1）

两点之间，线段最短

（2）

轴对称的性质

2 基本图形

异侧 同侧（折线 直线）

作图步骤：

（1）

作对称点

（2）

连线找交点

五、教学反思

利用轴对称解决最值问题关键是将问题转化为两点间的最短距离问题，有些题目已经很明确的条件告知一条定直线，两个定点，只要把直线同侧两点通过轴对称转化为异侧两点即可；有些题目没有明确的两个定点，却有两条定直线，一个定点，通过两条定直线的轴对称把点翻折到直线的另一侧，从而得到两个对称点，问题就转化成求这两个点的距离问题了，这类题目有一定难度，通过引导后学生可以掌握地不错。

六、课堂点评

本节课教学目标明确、具体，符合课程标准的要求，对教材和学情、生情了解透切，选取的教学内容非常有针对性。教学设计合理，在知识回顾后，通过实际问题的呈现引入本节课要探究的内容，并引导学生运用信息化教学设备（几何画板等）进行实践探究验证，突破本节课的重难点；设计上的最大亮点是不管图形如何，只要抓住通过轴对称或平移，把直线同侧两点问题转化为异侧问题，把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，尤其是利用轴对称的基本图形，将最短路径问题转化成“两点之间，线段最短”的问题，锻炼了学生的动手能力和解决问题的综合能力！