正弦、余弦、正切函数的简单应用优质课一等奖

课

题 正弦、余弦、正切函数的简单应用

教学目标

1.知识与技能

(1)使学生理解方位角、坡度、坡角等概念的意义,为解决有关实际问题扫除障碍;

(2)使学生能适当地选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形的问题;

(3)使学生学会将解非直角三角形的问题通过添加辅助线转化为解直角三角形的问题.

2.过程与方法

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;渗透数形结合的数学思想和方法.

3.情感、态度与价值观

让学生了解数学的渊源及辉煌的历史,激发学生的学习热情.

教学重难点

重点:将实际问题抽象为数学问题,通过添加辅助线构造出直角三角形,解决问题.

难点:将实际问题抽象为数学问题,通过添加辅助线构造出直角三角形,解决问题.

教学活动设计二次设计

课堂导入

在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有i==tan α.

探索新知合作探究

活动一:方位角的计算

例1:如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?

直角三角形计算问题是常见的题型,将非直角三角形或四边形转化为直角三角形求解的问题.选题背景公平.以测量为载体,考查同学们如何解决实际问题.解决这个问题的策略是转化为解直角三角形.

活动二:坡面上的计算

例2:一座建于若干年前的水库大坝的横断面,其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形.现需将其整修并进行美化,方案如下:①将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶;②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域,依次相间地种草与栽花.

(1)求整修后背水坡面的面积;

(2)如果栽花的成本是每平方米25元,种草的成本是每平方米20元,那么种植花草至少需要多少元?

计算坡面面积问题转化为解直角三角形问题,体现了数学在生活中的应用以及数学的价值和作用.问题设计较为合理、自然.

【教师指导】

1.易错点:

运用坡角解决问题时,要注意坡角是水平线与斜边的夹角,不要误认为铅垂线与斜边的夹角.

探索新知

合作探究

2.归纳小结:

(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题.如:测不易直接测量的物体的高度、测河宽等,关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出所要求的物体的高度或长度;

(2)解直角三角形的一般过程是:

①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形,转化为解直角三角形问题);

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.

3.方法规律:

解决问题时,要根据问题找到求解的直角三角形,当没有直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形,在解直角三角形时,若仰角、俯角不是直角三角形的内角,应利用平行线的性质将其转化为直角三角形的内角.

当堂训练

1.

如图,某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B,如果AB=2 000米,则他实际上升了

米.

2.

如图,A为某旅游景区的最佳观景点,游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景,然后再由E处继续乘坐缆车到达A处,返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处,已知:AC⊥BC于C,DE∥BC,BC=110米,DE=9米,BD=60米,α=32°,β=68°,求AC的高度.(参考数据:sin 32°≈0.53;cos 32°≈0.85;tan 32°≈0.62;sin 68°≈0.93;cos 68°≈0.37;tan 68°≈2.48)

板书设计

方位角、坡度、坡角

1.方位角的意义

2.坡度、坡角的意义

3.应用方位角、坡度、坡角解决实际问题