测试教学设计与反思

第九章 反比例函数综合问题与思考

【知识要点整理】

1.反比例函数的概念：

一般地，形如函数 ( 是常数， ),叫做反比例函数. ◆反比例函数的常见形式：

①

；

②

；

③

. 2.反比例函数的图象：

反比例函数

的图象是： .

◆反比例函数图象的轴对称性：

是以直线 和直线 为对称轴的轴对称图形. ◆反比例函数图象的中心对称性：

是以 为对称中心的中心对称图形. 如图，过原点任意画一条直线，与两个分支交于两点，则这两个交点是关于原点对称的. 3.反比例函数的性质：

（1）当

时，两个分支分别在第 象限，在每一个象限内，

随

增大而 ；

（2）当

时，两个分支分别在第 象限，在每一个象限内，

随

增大而 ；

（3）两分支都无限接近但永远不能达到

和

轴. ◆对于反比例函数

.下列说法错误的是：

A. 随

增大而增大

B.在每一个象限内，

随

减小而减小

C.当

时，

随

增大而增大

D.当

时，

随

减小而减小

4.求反比例函数关系式：

◆已知反比例函数的图象过点（-1，1），求这个反比例函数关系式. 5.反比例函数中比例系数

的几何意义：

◆在反比例函数

上任取一点

，则矩形OMPN的面积 . 结论：过双曲线上任意一点作

轴、

轴的垂线，所得的矩形面积均为

. 6.反比例函数与几何图形的综合应用实例与练习：

例1(2018连云港)如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数

的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A(1，1), ∠ABC＝60°，则k的值是（

）

A. －5

B. －4

C. －3

D. －2

（1）

如图，反比例函数

(x>0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上，若△OAC的面积为5，AD∶OD＝1∶2，则k的值为________．

反比例函数解析式中

k

的几何意义模型

一

一点一垂线模型特征:反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三角形面积为

|k|(同底等高面积转化)．

模型

二

一点两垂线模型特征:反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积为|k|.

（2）如图所示，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝

(x>0)的图象上，正方形ADEF的面积为9，且BF＝

AF，则k值为(

)

A. 15

B.

12

C.

18

D. 17模型三

两点一垂线

模型特征:反比例函数与一次函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积为|k|，当不是垂线而是坐标轴上任一点时，三角形面积为坐标轴所分的两个三角形面积之和．

（3）如图，已知一次函数y＝－2x＋12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝

交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，则△CDE的面积为________．

模型特征:反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积为2|k|.（4）如图，反比例函数y＝

的图象与直线

y＝kx(k＞0)相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥

x轴，则△ABC的面积为________．两点和原点

类型一：两交点在反比例函数图象的同一支上

模型特征:反比例函数与一次函数图象的交点及原点所围成的三角形面积，若两交点在同一支上，用减法．两交点分别在反比例函数图象的两支上

模型特征:反比例函数与一次函数的交点及坐标轴上一点所围成的三角形面积，若两交点分别在两支上，用加法．

（5）【基础训2018潍坊)如图，直线y＝3x－5与反比例函数y＝

的图象相交于A(2，m)，B(n，－6)两点，连接OA，OB.