六、正比例和反比例（通用）优秀公开课教案

《正比例的意义》教学设计

常州市新北区泰山小学姜丽娟 213022

【课题】:苏教版小学数学六年级(下)

【教材简解】:本课是在比和比例,以及常见数量关系的基础上编排的,通过两个相关联的量保持商一定的变化,教学正比例关系。学生在建立正比例的同时,初步体会函数的思想,是“数与代数”领域学习函数的开始,反映的是两种数量相互联系的一种数学模型,可以直接为《反比例的意义》提供学习方法与模式,为反比例教学及第三学段的数学教学打下基础。

【目标预设】:

1、知识技能:经历正比例意义的建构过程,通过具体问题理解成正比例的意义,能正确判断成正比例的量。

2、数学思考:通过观察、比较、分析、归纳等数学活动,发现成正比例量的特征,尝试抽象概括正比例的意义,初步体会函数思想。

3、解决问题:动脑思考、发现规律,并能应用规律解决问题。

4、情感态度与价值观:进一步培养观察、分析、综合等能力,培养学生的抽象概括能力和分析判断能力。

【重点、难点】:

重点:理解正比例的意义。

难点:概括正比例的概念,判断两种相关联的量是否成正比例关系。

【设计理念】:

1、抽象实际事例中的数量变化规律,形成正比例的概念。

现实经验中学生有接触到具有正比例关系的事例,如速度保持不变的物体,运动的时间与路程;单价不变的物品,购买的数量与总价;……所以首先让学生初步感知经验中“两种相关联的量”的含义,因为成正比例关系的两个量必定是相关联的。再指出这辆汽车行驶的路程和时间的比的比值总是一定,可以说路程和时间是成正比例的量。通过两个实例感知正比例的具体含义后,最后抽象概括出正比例的意义,这一环节既是概念形成的重要环节,也是发展数学思考的极好机会。

2、用图像直观表达正比例关系, 感受两种量的同步变化。

《课程标准》要求:“根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图,并根据其中一个量的值估计另一个量的值”,所以设计了三个问题来体现了教学正比例图像的三个步骤。第一步认识图像上的点,说出其他各点的具体含义,体会各个点都表示汽车在某段时间所行驶的路程,也体会这些点是根据对应的时间与路程的数据在方格纸上画出来的。第二步认识图像的形状,从图中描出的点在一条直线上,体会正比例关系的图像是一条直线。第三步应用图像,估计行驶时间所对应的路程或者行驶路程所用的时间。

【设计思路】:

本课依据“感受——反馈——探究——应用”的课堂基本模式,首先由学生

的基本生活经验导入作为新知的切入点，然后通过自主学习、讨论来理解并掌握正比例的意义作为新知的增长点，最后让学生运用知识解决“试一试”、“练一练”和练习十三等问题作为新知的延伸点，力求切入点、增长点和延伸点这三点构成数学课认知冲突的主线，让学生在自主探究的氛围下学习、体验，追求在理想的教学过程中产生理想的学习效果。 【教学过程】：

一、联系实际,感受”相关联”的量. 1、谈话交流：

同学们，你们都喜欢晒太阳吧？ 每天的大课间，经常是太阳高照，你发现在太阳下你的影子长还是教学楼的影子长？和旗杆的影子比呢？和低年级小朋友的影子比呢？

为什么教学楼的影子最长？低年级小朋友的影子最短？ 2、概括引入：

教学楼的高度和教学楼的影子、旗杆的高度和旗杆的影子，你的高度和你的影子。小朋友的高度和小朋友的影子都是“相关联的量”，同一时间，同一地点，物体长度约长，影子越长，物体长度越短，影子越短。

像这样“相关联的”量在数学上还有很多，今天我们就来研究这样的“相关联的”量！

【设计意图：从学生喜爱的生活场景入手，切入“相关联的量”这一话题，带动学生投入课堂，聚焦新知。】

二、探究实例,建立正比例的概念： (一)自主学习，讨论交流。 课件出示：

1

观察上表，填写表格并思考下列问题： (1)表中有哪两种“相关联的量”？

(2)相对应的路程和时间的比分别是什么？比值是多少？ ，

（ ），

（ ）（ ）

（ ），

（ ）（ ）

（ ）……

(3)路程是怎样随着时间变化而变化的？ 2

观察上表，填写表格并思考下列问题： (1)表中有哪两种“相关联的量”？

(2)相对应的总价和数量的比分别是什么？比值是多少？

=0.3，=（ ），

（ ）（ ）

=（ ），

（ ）（ ）

=（ ）……

(3)总价是怎样随着数量变化而变化的？

【设计意图：以学生常见的数量关系入手，以表格并附思考问题的形式出现，激起学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲，让学生边填边思，为学生积极参与后面的学习活动打下基础。】 (二)反馈揭示： 师：在填表过程中，你发现了什么？每一组材料中的两种量有什么关系？它们的变化有规律吗？

1、学生自由说，小组内总结。(小组汇报，教师小结。)

小结与板书： ①两种相关联的量

②一种量扩大(或缩小)另一种量也扩大(或缩小) ③两种量中相对应的两个量的比的比值是一定的 (说明：相对应的两个数的比的比值都一样或固定不变，在数学上叫做“一定”) 【设计意图：通过以上自主学习和讨论交流两个环节活动：（1）是让学生知道路程和时间是两种相关联的量，初步感知两种量的变化情况：行驶的时间扩大，路程也随着扩大；行驶的时间缩小，路程也随着缩小。同时小结：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。（2）找一找这两种量的变化的规律，启发学生从“变化”中去寻找“不变”。即从路程和时间这两个变量相对应的几组数据的比中，发现第三个量的数值相等，是一个不变的量。】 2、揭示正比例的意义。

(1)概括：刚才同学们通过填表、交流，我们知道了时间和路程是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化，时间扩大，路程随着扩大，时间缩小，路程也随着缩小，并且路程和时间的比的比值总是一定的。用一个数量关系式来表示：

路程

时间

速度（一定），同样总价和数量也是如此。

路程时间

[板书]：速度（一定）

总价数量

=单价（一定）

问：谁来说说这两个数量关系式的意思？

(2)小结：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。这就是我们今天要学习的内容。 [板书课题]：成正比例的量

追问：判断两种相关联的量是否成正比例的关键是什么？(比值是否一定) (3)通用字母表达关系式。

问：如果字母y和 x分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系怎样用字母表示出来？ [板书]： =K =k(一定) (4)质疑。

师：根据正比例的意义以及表示正比例关系的式子想一想：构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件？ 【设计意图：通过学生自学两例“正比例”意义教学素材的反馈，让学生感悟其基本特征，从而由两个具体数学现象归纳抽象出数学结论，让学生经历这个过程，丰富他们的数学体验，实现“用教材教”而不是“教教材”这一新课程理念的转变。】

(三)直观应用： 1

根据表中列出的两种量，教师在黑板上分别画出横轴和纵轴。

问：你能根据表中的每组数据，在方格图中找一找相应的点，并依次描出这些点吗？

2、学生尝试画出正比例的图像。 3、展示、纠错。

强调：每个点都应该表示路程和时间的一组对应数值。 4、回答例2图像下面的问题，重点弄清： (1)说出每个点表示的含义。

(2)为什么所描的点在一条直线上？

(3)你能根据时间(路程)估计所对应的路程(时间)吗？你是怎么看的？ 借助直观的图像理解两种量同时扩大或缩小的变化规律。

【设计意图：通过学生小组讨论、总结、汇报、师生交流后概括出的数学新知，再通过用图像直观表达正比例关系，进一步验证学习正比例关系的两个量用图像表示的情况，以帮助学生构建立体的概念模型。师生的平等交流与探讨，激起情感共鸣，增强课堂的活力。】 (四)实际应用：

1、判断下面每题中两种量是不是成正比例，并说明理由。

（1）订阅《趣味数学》杂志的总价和数量。（“数与代数”领域） （2）圆柱的底面积一定，圆柱的体积和高。（“图形与几何”领域） （3）一个人的年龄和他的身高。 （不相关联的量） （4）正方形的边长和周长（面积）。 （难点）

8岁 10岁 12岁

30千克31 千克33 千克

学生独立思考，指名回答，课件演示核对。

小结：两个相关联的量并一定成正比例关系，只有当两个相关联的量的比值一定是，这两个量才成正比例关系。 2、完成练习十三第2题。

先让学生独立判断，再指名学生有条理地说明判断的理由。 3、完成练习十三第3题。

（1）先让学生说出把已知的正方形按怎样的比放大，放大后正方形的边长各是几厘米？再画一画。

（2）分别求出每个图形的周长和面积，并填写表格。

（3）讨论、明确：只有当两种相关联的量的比值一定时，它们才成正比例。 【设计意图：给学生练习的空间，加强学生对成正比例量的认识及正比例意义的理解，在对知识的实际应用中获得成功的体验，实现对新知的巩固。】 4、完成练习。

学生先独立填表，再根据表中的数据描出长度和总价所对应的点，把它们按顺序连起来。(组织同桌讨论和交流) 三、课堂小结：

师：通过这节课的学习，你知道了什么？怎样判断两种量是否成正比例？

四、课堂延伸：

长方形的长一定，它的面积和宽成正比例， (1)

(2),长和宽相关联吗?长和宽又有什么关系呢？……

【设计意图：知识的拓展，能激活学生的思维，培养学生多角度思考问题的能力，给学生更广的思维空间，充分发挥学生的潜能，使学生获得更好的发展。】 五、课外作业：

完成练习十三第1、4题。 六、板书设计：

正比例的意义

物体的高度和影长，路程和时间、总价和单价……

两种相关联的量：一种量扩大 或缩小 另一种量也扩大 或缩小

正比例 ：两种相关联的量比值一定时，它们就是成正比例的量。

路程时间

速度（一定）

总价数量

=单价（一定）

=K（一定）