小结第一课时教学设计

3.4基本不等式

一、教学目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式abab的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解2决问题的能力，体会方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：利用一个表格进行对式子大小进行猜测，应用数形结合的思想证明基本不等式，并从不同角度探索基本不等式ab

ab的证明过程及应用。

2难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程

1.探究引入

用一个表格，对表格中后两组数据比较得出一般情况下猜测：ab2ab当且仅22当ab时等号成立。

a

2 4 3 2 b

3 3 3 2 a2b2

13 25 18 8 2ab

12 24 18 8

2．动手操作，证明基本不等式。

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

⑴几何证明一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，

那么正方形的边长为a2b2．于是，

4个直角三角形的面积之和S12ab，

正方形的面积S2a2b2．

由图可知S2S1，即a2b22ab．

⑵．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

若a,bR，则ab2ab．

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）

若a,bR，则a2b22ab；

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．

证法一（作差法）：

22a2b22ab(ab)20

a2b22ab，当ab时取等号．

（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）

证法二（分析法）：

要证：a2b22ab；

22即证：ab-2ab0

即证：ab0

；

22又因为：ab0显然成立。 故证得：ab2ab。

22得出结论，展示课题内容。

3、变式

对a2b22ab进行变式，特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab2ab中，22以a、b分别代替a、b，得到ab2ab，并进行证明。

证法（分析法）：由于a,bR，于是要证明 abab，

2只要证明 ab2ab，

即证 ab2ab0，

即 (ab)20，该式显然成立，所以

注意：基本不等式: 若a,bR，则ababab，当ab时取等号．

2ab（当且仅当ab时，等号成立）

2若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

深化认识：

称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式abab为a,b的算术平均数

2ab又可叙述为：

2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当ab时，xy有最大值．

4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

练一练（自主练习）：

1.已知x0,y0，且281，求xy的最小值．

xy2.设x,yR，且xy2，求3x3y的最小值．

5．归纳小结，反思提高

基本不等式：若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法；

（3）运用分析法证明我们要证的问题是我们今后遇到证明定理的一个重要方法。

6．布置作业，课后延拓

（1）基本作业：给出abab课本P100习题A组1、2题

2

的几何证明，（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

（3）尝试用一个未知数解决我们今天课上的这两个题。