阅读与思考 九连环优秀教学设计

19．（2013广州一模理）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且

a12a23a3nan(1) 求数列{an}的通项公式；

（2）若p,q,r是三个互不相等的正整数，且p,q,r成等差数列，试判断

(n1)Sn2n(nN*).

ap1,aq1,ar1是否成等比数列？并说明理由. (1) 解：a12a23a3nan(n1)Sn2n，

∴

当n1时，有

a1(11)S12,

解得

a12. ……………1分

由a12a23a3得a12a23a32分

②

- ①得: nan(n1)Sn2n, ① nan(n1)an1nSn12(n1), ② ……………(n1)an1nSn1(n1)Sn2. ③ ……………3分

以下提供两种方法：

法1：由③式得：(n1)(Sn1Sn)nSn1(n1)Sn2， 即Sn12Sn2; ……………4分

Sn122(Sn2)， ……………5分

∵S12a1240，

∴数列{Sn2}是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴Sn242n1,即Sn42n122n12. ……………6分

当n2时, anSnSn1(2n12)(2n2)2n， ……………7分

又a12也满足上式, ∴an2n. ……………8

分

法2：由③式得：(n1)an1nSn1(n1)Sn2nSn1SnSn2，

得an1Sn2. ④ ……………4分

当n2时,anSn12, ⑤ ……………5分

⑤-④得：an12an. ……………6分

由a12a2S24，得a24，

∴a22a1. ……………7分

∴数列{an}是以a12为首项，2为公比的等比数列. ∴an2n. ……………8分

（2）解：∵p,q,r成等差数列，

∴pr2q. ……………9分

假设ap1,aq1,ar1成等比数列，

则ap1分

即21ar1aq1， ……………10r2p2121，

q2prq化简得：2222. （*） ……………11分

∵pr，

∴2p2r22p2r22q，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分

∴ap1,aq1,ar1不是等比数列. ……………14分

18．（本小题满分14分）

已知数列an中，a11,a12a23a3nan(1)求数列an的通项公式an; (2)求数列n2an的前n项和Tn; (3)若存在nN，使关于n的不等式an(n1)成立，求常数的最小值。

18. 解：（Ⅰ）因为a12a23a3nan所以a12a23a3(n1)an1两式相减得nan所以n1an1(n1,nZ)。

2n1an1(nN)

2nan(n2)

- ks5u -------1分

2n1nan1an

22(n1)an13(n2)

------------2分

nan因此数列nan从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列

所以nan23n2(n2)----3分

1,n1故an2n2

------------4分

3,n2n（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当n2n2an2n3n2

当n2时，Tn14306312n3n2，

------------5分

3Tn34312(n1)3n22n3n1，

------------6分

两式相减得Tn11(n)3n1(n2)

------------7分

22

又T1a11也满足上式，

------------8分

11(n)3n1(nN)

------------9分

22a（Ⅲ）an(n1)等价于n，

------------10分

n1an23n2由（Ⅰ）可知当n2时，

n1n(n1)n(n1)(n2,nN),

设f(n)n223n(n1)(1n)0，

------------12分

则f(n1)f(n)23n111111a及1，

------------13分

，又22f(n1)f(n)f(2)311所求实数的取值范围为,min

- ks5u -----14分

33

所以Tn