小结课堂实录【2】

基本不等式教学设计

一、教学目标

1.知识与技能：了解基本不等式、重要不等式的证明；理解两个不等式取等的条件；掌握两个不等式在题目中的运用。

2.过程与方法：通过动手操作、观察得到不等关系，利用作差法、分析法证明不等式

3.情感态度价值观：在课堂学习中让学生学会分析问题解决问题，从生活中寻找数学模型，培养学生严密的数学逻辑思维。

二、学情分析

学生已经学习了一元二次不等式以及线性规划的基本问题,再来学习基本不等式,这是一种新的思维方式,利用基本不等式来求解最大值与最小值。这部分内容知识点就两个,但是题型灵活多变,学生的基础成绩不好,因此,本课主要针对学生的基础,给学生把基础练习好,下一节课再将多变的题型展现给学生。

三、教学重难点

1.重点：重要不等式、基本不等式的运用

2.难点：两个不等式取得等号的条件及证明过程

四、教学过程

1.课前准备：让学生课前准备两张正方形白纸（可以同样大小、也可以不一样大）

2.导入新知：幻灯片播放图片

该图为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计

探究一：假设图中三角形两直角边分别为a、b,那么上图中图形的面积反映了哪些不等关系？

正方形边长为：a2b2则正方形面积S1a2b2

四个全等三角形面积为：S22ab

有此可得到不等关系：S1S2即ab2ab

有没有可能ab2ab？

2222

有此可以得到不等关系：ab2ab

证明不等式：若aR、bR则ab2ab（作差法）

(意图：让学生通过几何图形去观察发现不等关系，通过常用的作差法去证明不等关系培养学生的发现问题、解决问题的能力，加深学生对重要不等式的印象；通过几何图形也可能相等，让学生牢记不等式取得等号的条件。) 探究二：拿出准备的两张正方形白纸，将白纸沿对角线折成三角形，再将折成的三角形组合成一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠），从这个过程中你发现了哪些不等关系？可以列出这些式子吗？

假设两张正方形白纸的面积分别为a、b，则两张直角三角形面积之和为：直角三角形的边长分别为a、b则组成的矩形面积为ab

2222ab

2abab

2abab

还有人可以得出哪些关系？2abab

有此可以得出基本不等式：2有此可以得出不等关系：你可以证明这个结论吗？（作差法）

（意图：通过动手操作、观察面积得到基本不等式，培养学生在生活中找数学；在发现基本不等式过程中让学生体会基本不等式取得等号的条件；通过作差法证明不等式培养学生严密的逻辑思维能力。）

结论：从两个探究中可以得出两个不等式：

22重要不等式：aR、bR，ab2ab（当且仅当ab时取得等号）

基本不等式：a0,b0，3.学以致用

abab（当且仅当ab时取得等号）

2例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

总结：由两个例子可以发现：

m2（1）若abm(定值），则当且仅当a=b时，ab有最大值为

4（2）若abn(定值），则当且仅当a=b时，a+b有最小值为2n；

变式1：若x0,求f(x)4x的值域；

变式:2：若x2,求x1x4的最值；

x-2（意图：两个简单例子让学生学会基本不等式的在实际问题中的用法——求最值，让学生学会运用不等式解决问题，通过两个变式让学生加深印象，体会基本不等式求最值的不同形式，培养学生思维的灵活度。）

4.归纳总结：

小组自主总结本节内容的要点（一正二定三相等；积定和最小，和定积最大）

5.作业：

（1）课后书基础练习1、2 （2）提升题：若xy2,求2x2y的最值

（意图：作业1是为了巩固本节内容，作业2为学有余力的学生准备，为了让学生对本节内容更深层次的理解，提高学生逻辑思维能力）