三 反证法与放缩法教案及板书设计

2.3

反证法与放缩法

教学目标：

1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

2．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。

3．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。

掌握证明不等式的两种放缩技巧。

教学难点：会用反证法证明简单的命题。体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

教学过程: 一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步 作出与所证不等式相反的假定；

第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：

例1、设a3b32，求证ab2.

证明：假设ab2，则有a2b，从而

a3812b6b2b3,ab6b12b86(b1)2.3322

因为6(b1)22，所以a3b32，这与题设条件a3b32矛盾，所以，原不等式ab2成立。

2例2、设二次函数f(x)xpxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于21. 2证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于1，则

2

f(1)2f(2)f(3)2.

（1）

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93pq)2

（2）

（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

三、放缩法

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

例3、若n是自然数，求证11112.

122232n2证明：1111,k2,3,4,,n.

2k(k1)k1kk11111111

(n1)n122232n211223111111)()

23n1n

11121

=22.

n

=()(

11112的过程中，已经得到一个更强122232n211111的结论22222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

n123n1111例4、求证：13.

112123123n111证明：由k1,（k是大于2的自然数）

123k122221111

得1

112123123n11n11112313.

1123n11122222n112

注意：实际上，我们在证明课堂练习：

1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则

ama.

bmb2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 

a)c, (2 

b)a, (2 

c)b,不可能同时大于1 11111.

n1n2n32n21352n114、设n为自然数，求证(2)(2)(2)(2).

nnnnn!3、设n为大于1的自然数，求证课时小结：1、利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

2、常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，

（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。

作业补充题

1、设0 < a, b, c

< 2，求证：(2  a)c, (2  b)a, (2  c)b,不可能同时大于1 2、设f(x)axbxc,其中a、b、cZ，并且a1.试证明:b24ac0

213、设f(x)x2pxq,求证：f(1) 、

f(2)

、

f(3)中至少有一个不小于

2

4、设x > 0,

y > 0,axyxy, b，求证：a < b 1xy1x1y

5、证明：111121(nR,n2)

nn1n2n1140

abbcca6、

证明：lg9•lg11 < 1 7、

证明：若a > b > c,

则