三 排序不等式教学设计第一课时

河北饶阳中学学案

编制人

使用日期

审核高二数学组

书山有路勤为径

学海无涯苦作舟

§3.2.1排序不等式 姓名 ☆学习目标：

1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;

☻

2. 体会运用经典不等式的一般思想方法

知识情景：

1. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai,biR(i1,2,…,n)，

则：

.

当且仅当

时, 等号成立.

(若ai0时，约定bi0，i1,2,…,n). n2

变式10.

设aiR,bi0(i1,2,,n),(

则：aa2ii)1biibi

.

当且仅当

时, 等号成立.

n

变式20. 设aibi0(i1,2,,n),

则：a2i(ai)i1biaib.

i

当且仅当b1b2bn时,等号成立.

变式30.

(积分形式)设f(x)与g(x)都在[a,b]可积，B1,B2,Bj,Bn,B,A1,A2,Ai,An,A

2

则bbbaf(x)g(x)dxaf2(x)dxag2(x)dx，

当且仅当f(x)tg(x)时,等号成立. 2. 探究

如图，

设AOB，自点O沿OA边依次取n个点A1,A2,,An，

OB边依次取取n个点B1,B2,,Bn，在OA边取某个点Ai与OB边

某个点Bj连接，得到AOBij，这样一一搭配，一共可得到

n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的AOBij

不同，问：OA边上的点与OB边上的点

如何搭配，才能使n个三角形的

面积和最大（或最小）？？？

设OAiai,OBjbj(i,j1,2,,n)，由已知条件，得

a1a2a3an,b1b2b3bn

因为AOBij的面积是

，而

是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为

代数问题：设c1,c2,c,n是数组b1b,2,bn的任何一个排列,

则,Sa1c1a2c2ancn

何时取最大（或最小）值？

我们把Sa1c1a2c2ancn叫做数组(a1,a2,,an)与(b1,b2,,bn)的乱序和.

其中, S1a1bna2bn1a3bn2anb1称为

序和.

S2a1b1a2b2a3b3anbn称为

序和.这样的三个和大小关系如何?

☆

新知建构：

1.检验操作: 填表:

2.一般性证明:

设a1a2an,b1b2bn

c1,c2,,cn是b1,b2,,bn的任意一个排

列(有

个不同的排列). 所以,

Sa1c1a2c2ancn的不同值也只

有有限个(个).其中必有最大值

和最小值.

考察Sa1c1a2c2ancn,

10.若c1b1,则应有某ckb1(k1),且c1ck,对换c1,ck得Sa1ckakc1ancn

SS0. SS

.

说明将Sa1c1a2c2ancn中第一项换为a1b1后, 和式变

.

20.若c1b1,则转而考察c2,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为a2b2后,和式变

.

如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是

.

且不难知道, 最小和数只能是

. 因此

反序和乱序和顺序和 即 S1SS2.

30.容易发现, 当a1a2an,或b1b2bn时,

S1SS2;

如果a1,a2,,an,不全相等,

b1,b2,,bn也不全相等.

则i,j(1i,jn)和l,k(1l,kn)

使aiaj,blbk,考察和数

SS2(aibiajbjalblakbk)(aibkajblalbiakbj)

SS2(aibiajbjalblakbk)(aiblajbkalbiakbj)

∵

SS(aiaj)(bkbl)0SS

第

1 页

河北饶阳中学学案

编制人

使用日期

审核高二数学组

书山有路勤为径

学海无涯苦作舟

∴ S1SSS2. 定理(排序不等式, 又称排序原理):设a1a2an,b1b2bn为两组数,

c1,c2,,cn是b1,b2,,bn的任意一个排列, 则

a1bna2bn1a3nb2naba1c1ac22ancna1b1ab22ab33anbn.

当且仅当a1a2an,或b1b2bn时, 等号成立. ☆

排序不等式的应用：

例1. 若a1，a2，…，an

求证:1111

为两两不等的正整数，a

n23naa2a312232n2.

例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是

4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等

待的总时间最少？

∴ S1SSS2. 定理(排序不等式, 又称排序原理):设a1a2an,b1b2bn为两组数,

c1,c2,,cn是b1,b2,,bn的任意一个排列, 则

a1bna2bn1a3nb2naba1c1ac22ancna1b1ab22ab33anbn.

当且仅当a1a2an,或b1b2bn时, 等号成立. ☆

排序不等式的应用：

例1. 若a1，a2，…，an

为两两不等的正整数，

求证:111

n231aa3na122232an2.

例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是

4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等

待的总时间最少？

第

2 页

河北饶阳中学学案

编制人

使用日期

审核高二数学组

书山有路勤为径

学海无涯苦作舟

选修4-5练习 §3.2.1排序不等式 姓名 ///a1a2an1、若0a1a2,0b1b2,且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是（ ）

A．a11b1a2b2 B．a1a2bb12 C．a1b2a2b1 D．2

2、对a,b,cR+, 比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小

3、已知a,bR，求证：abbaab

4、正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1,a2,…an，

则有aa12an

n

22225、设aaaan1a1，a2，a3，…，an为正数，求证：1a2na1a2an.

2a3ana1

第

3 页

河北饶阳中学学案

编制人

使用日期

审核高二数学组

书山有路勤为径

学海无涯苦作舟

6、

设a,b,cR,试证: a12b12bccac12aba10b10c10

.

abc7、设a,b,cR, 用排序不等式求证:

aabbcc(abc)3

8、在ABC中,试证:aAbBcC3abc2

9、设a12n1a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：

1aaa2n123n

2a3an

R+,求证：abca2b2b2c2c2a2a310、设a,b,cb32c2a2bbccac3ab

第

4 页