小结教案1

柘荣县第一中学公开课教学设计

主备教师姓名： 林庆勇 上课班级：高二（2）

任课科目：数学 授课时间： 2017 年 11月7日

单元、课(或章节) 课题

课型

教

学

目

的

要

求

基本不等式的应用小结

复习课

共

课时

第

课时

1.掌握基本不等式的应用条件和使用步骤，能够利用基本不等式求解一些简单的最值问题。

2. 学会构造条件使用基本不等式，寻找适当的变换方法，达到化归的目的，培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

3.通过问题情境的设置，体现自主学习，体会数学学习中的成功和探索的乐趣，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——体验――探究；启发诱导、教法与

讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，学法指放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生导

对基本不等式的理解。

教材

分析

1.基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。

2.基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的学习者基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，特征分研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。初步掌握基本不等式的应用条件析（学和使用步骤，通过本节课的学习加深基本不等式的理解，从而灵活使用基本不等情分式。

析）

时间安排

3分

2分

教学环节及内容安排

一、复习

1. 基本不等式：

设计意图

评注

ab

ab2

如果a, b是正数, 那么

(当且仅当

a＝b 时取“=”号)

(均值不等式)

复习旧知2.重要不等式及变形：

识让学生

1.a、bR，a2b22ab(当且仅当ab时取等号）温故而知

新，更好地记住知a2b2a,bR,ab识结构加2（当且仅当a=b时取等号）

强记忆。

2

a,bR,ab2(a2b2)

（当且仅当a=b时取等号）

公式的变形及常用结论：

ab2a,bR,ab()

2

ab3.

若ab0,则2(当且仅当ab时取等号）

ba

（当且仅当a=b时取等号）

1

特别的，a0时,则a2(当且仅当a1时取等号）a

二、基本不等式的应用

1.证明简单的不等式

2.求最值的问题

3.解决实际问题

巩固复习求最值的问题

已知x>0，y>0，

﹙1﹚如果积xy=P（定值），那么当x=y时，和x+y有

最

值2P

﹙2﹚如果和x+y=S(定值)，那么当x=y时，积xy有

1

最

值S2

强化应用4

理念，记最值定理：①积定和最小

②和定积最大

住问题的利用基本不等式求函数最值的前提条件: 关键。

一正,二定,三相等



三例题讲解

12

3xx例一1)若x>0,f(x)=

的最小值为_______;此时x=_______. 1分

一正12

解:因为x>0,x>0，3x>0，

二定

1212f(x)3x23x12

xx12

当且仅当3x即x2时取等号,x

三相等即当x=2时函数的最小值为12.

123x

2)若x<0,f(x)= x

的最大值为_______;此时x=_______.

2分

练习：求函数

5f(x)2log2x(0x1)

log2x

的最大值

554分

错解：

f(x)2log2x22log2x225

log2xlog2x

注意:各项必须为正数

正解:

0x1logx02

5f(x)2logx225

2log2x

5

当且仅当log2x,即x25时,

log2x



f(x)5max22

一不正,a0,b0常用ab2ab

掌握利用基本不等式解题步骤，规范解题。

强化基本不等式第一条件正数。

对比正误

掌握条件记住变形公式。

3分

4分

1xx1

(x ≥ 0)

例二. 函数y=

的最小值为______,此时x=______. 解: 1

x0,0x1

11

yxx11

x1x1≥2-1=1

1x1

0当且仅当

即

x

x1时取“=”号

（凑项）构造积为定值

变式：求函数

1f(x)x(13x),(0x)3

的最大值

（凑系数）构造和为定值

二不定,需变形——积或和为定值

1

例三. 函数y= x

x1

(x ≥ 1)的最小值为____,此时x=______. 分析：利用双勾函数

1ytt

(t>0)的单调性. 当a=1时，t(0,1]单调递减t[1,)单调递增

设t=x+1,

1yt1(t2)

t

当t=2即x=1时取“=”号

三不等,常用单调性

理解最值定理，和或积为定值，掌握凑项、凑系数技巧

巩固基本不等式第三条件相等，利用函数的单调性注意双勾函数的图象性质的应用

练习：求函数

4分

x25y

x24

的最小值

错解：

x25x2411x24

y2222x4x4x4

当且仅当

12x4

2x4

时取等号。

正解:

x25x24112yx4

222x4x4x4

令tx24则yt1(t2)

t5

当t2,即:x0时,ymin2

分离、换元

四、典例解析

2分

例四.已知正数x、y满足2x+y=1，求

11

xy的最小值

错解：

12xy22xy

11xy即22

xy22

111

222242xyxy

即

11

xy的最小值为42

错因：过程中两次运用了基本不等式中取“=”

号过渡，而这

两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。

掌握分离、换元技巧，提升转化能力。

错解，引导学生加深基本不等式的理解。

3分

5分

正解：

111111（）1=（）（2x+y）

xyxyxy

3y2xxy322y2x当且仅当时，取＝号

xy1x22

y2x而2

2xy1y22

即此时

11()min322xy

“1”的代换

五、练习

25



1

01.已知

x

,

y



0

，

,求x+y的最小值。

x

y

25解：

(xy)1(xy)()

xy

2y5x25722y5x7210

xyxy

当且仅当

2y5xxy

时取等号

2.高考题

07年山东卷）（函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象

恒过定点A,若点A在直线mxny10

上,其中mn0,则

21

的最小值为_______. mn

yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A（-2，-1）解：函数，

(

2)m(1)n10，2mn1，m,n0，

1

2(12)(2mn)4n4m42n4m8.

mmnmn

nmn

掌握1的代换这种技巧适用的题型。

通过相似题型的练习让学生掌握1的代换的解法技巧。

6分

1分

3.（1）已知lgx+lgy＝1，

52练习巩固xy

加强，活的最小值是______.2 跃思维，

灵活使用（2）.求函数

解题方法

及技巧。

x23x1f(x)(x1)

x1

255的最小值

六、课堂小结

基本不等式的应用

回忆课堂利用基本不等式求函数最值的前提条件: 内容，重一正,二定,三相等

复巩固，

加深记忆

一不正,a0,b0常用ab2ab

二不定,需变形——积或和为定值

三不等,常用单调性

常用技巧：凑项、分离、换元、1的代换、双勾函数的单调

性

七、布置作业

完成练习册提升题。

基本不等式的应用小结

1. 基本不等式

例1.

练习1 2.重要不等式及变形

3. 最值定理：

①积定和最小

②和定积最大

例2.

练习2 板

4.常用解题技巧

书

例3.

思考及布置作业

设

计

教

学

反

思

通过问题情境的设置，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质，启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。基本不等式的应用与常用技巧的使用，需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

不足之处，时间有点仓促，对学生的认知学习能力把握过高，对部分题型没有进行深层次的剖析，不完全精讲，对学生解题能力提高挖掘不够深。

学生做练习时间不够充分，对学情情况不够全盘掌控，有待课后作业进行巩固，复习知识，提升自己的解题能力。