复习参考题优质教案设计

大安市第一中学

课题[来源:Zxxk.Com]

2．3．1离散型随机变量的均值

课型

新授课

教学

目标

知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．

过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～B（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美

,体现数学的文化功能与人文价值。

重点

难点

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念

教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望

多媒体、实物投影仪

教具

准备

课时

安排

2 教学过程与教学内容

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量

随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3.

分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，

教学方法、教学手段与学法、学情

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为P(xi)pi，则称表

ξ

P x1

P1

x2

P2

…

…

xi

Pi

…

…

合作、探究

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

4. 分布列的两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

⑵P1+P2+…=1．

二、讲解新课：

引例：

1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2, 2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？

2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？

概念解析

1.

均值或数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

P x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

…

…

则称

Ex1p1x2p2…xnpn… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1p2…pn，则有p1p2…pnxn)1，E(x1x2…n1，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

n4. 均值或期望的一个性质:若ab(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ

η

P x1

x2

…

…

…

xn来源学科网ZXXK]

…

…

…

ax1b

p1

ax2b

p2

axnb

pn

于是E(ax1b)p1(ax2b)p2…(axnb)pn…

＝a(x1p1x2p2…xnpn…)b(p1p2…pn…) ＝aEb，

由此，我们得到了期望的一个性质:E(ab)aEb

三、讲解范例：

例1、射击运动员每次射击击中目标的概率为p，

(1)求他射击1次击中目标的次数X的均值.

(2)求他射击2次击中目标的次数X的均值. 总结升华

EXp1、如果随机变量X服从两点分布，则

EXnp2、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则

EXnp证明如下：

∵

P(k)Cnp(1p)kknkkknkCnpq，

11n122n200n∴

E0×Cnpq＋2×Cnpq＋…＋k×pq＋1×Cnkknknn0Cnpq＋…＋n×Cnpq．

又∵ kCnkkn!n(n1)!k1nCn1，

k!(nk)!(k1)![(n1)(k1)]!k1k1(n1)(k1)00n111n2∴ Enp(Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋q1p1pq1pqn1n1n10np(pq)np．

Cnpq)1故

若ξ～B(n，p)，则Enp．

例2.

一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分

学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,，则~ B（20,0.9）,~B(20,0.25), E200.918,E200.255

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5

所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

E(5)5E()51890,E(5)5E()5525

例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．

方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．

方案3：不采取措施，希望不发生洪水．

试比较哪一种方案好．

解：用X1

、X2和X3分别表示三种方案的损失．

采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即

X1 = 3 800 .

采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即

62000，有大洪水；

X2=2000,无大洪水.同样，采用第

3 种方案，有

60000，有大洪水；X3=10000,有小洪水；

0,无洪水.于是，

EX1＝3 800 ,

EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 )

= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,

EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0)

= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .

采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .

值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案

2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案

2 也不一定是最好的．

四、课堂练习：

1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则E（

）

A．4；

B．5；

C．4.5；

D．4.75

答案：C

2.

篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；

⑵他罚球2次的得分η的数学期望；

⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

解：⑴因为P(1)0.7，P(0)0.3，所以

E1×P(1)＋0×P(0)0.7

⑵η的概率分布为

η

0 1 2 1C20.07.0.72P 0.32

所以 E0×0.09＋1×0.42＋2×0.98＝1.4．

⑶ξ的概率分布为

ξ

０

１

2 3

P 0.33

210.720.3

C30.70.32

C30.73

所以 E0×0.027＋1×0.189＋2×0.98＝2.1. 3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．

分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是1，事件“ξ=k”m发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出

P(ξ=k),进而可求Eξ.

解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=

∴

P(ξ=k)=Pn(k)=Ckn1．

m1k1n－k)(1－)（k=0,1,2,….,n）．

mm11n

∴

ξ～B(n,)，故

Eξ =n×=

mmm五、小结

：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ

公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np

六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4

P68A组1,2,3



P 0 2C20.1

2C51 11C3C20.6

2C52 2C30.3

2C5E00.110.620.31.2

5. A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1,A2,A3，B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员

A1对B1

A2对B2

A3对B3

A队队员胜的概率

B队队员胜的概率

2

32

52

51

33

53

5现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得分分别为，

（1）求，的概率分布； （2）求E，E

解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0

232P232P131P03P325253535253535358,2712223228,35535575

1231322,3553555325根据题意知3，所以

P0P3P2P1828,P1P2,7575

23,P3P05258282322210；

75755251523因为3,所以E3E

15

（Ⅱ）E3

板

书

(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

教学

反思

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ

公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np 。