1.3 二项式定理（通用）教学设计第一课时

二项式定理（教学设计）

1.教材分析

1.1教材内容

《二项式定理》是高中第二册下（A）最后一章的内容。

本课是该单元的第一课，学习该课之前，同学们已基本上学习过高中数学的其它内容，特别是学习了与本课程有关的乘法公式中的平方、立方公式，多项式乘法，排列组合，组合数公式，组合数性质. 本节课的主要内容是二项式定理及其推导方法、二项式展开式的有关特征和简单应用。

1.2地位与作用

二项式定理是《二项式定理》这个单元的主要内容. 只有学习二项式定理，才能进而学习二项式系数的性质和应用. 二项式定理的应用主要有：求二项展开式或求某特定项；求组合的和和证明组合恒等式；证明不等式；近似计算. 二项式定理与数列等知识可组成综合性题目. 近年高考试题中，不乏涉及到二项式定理的题目。.

通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，感受体验数学美.。

1.3重点、难点

重点：二项式定理、二项展开式和通项公式。

难点：二项式定理的正确应用。

2.教学目标

2.1知识目标

掌握(ab)的展开式

及其推导方法、二项式展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单的问题。

2.2能力目标

揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广和提出二项式定理的推导过程，领悟从特殊到一般的思维方法，培养学生的归纳能力，抽象思维能力和逻辑思维能力。

2.3

感情目标

对学生进行爱国主义教育，激发学生奋发图强、振兴中华的爱国热情. 通过对二项展开式的教学，使学生感受和体验公式的简洁美、和谐美和对称美等数学美. 3.教学方法

3.1教法

本课采用“过程教学法”，让学生参与和经历全课的思维过程. 另外，利用计算机辅助教学，便利师生交流，增大师生互动频率密度。

3.2学法

采用“导学法”. 学生在教师的引导下，积极参与，积极思考，发现规律，归纳总结规律。

4.教学过程与自我评述（以下T为教师，S为学生，C为电脑显示）

4.1复习引入

C,T：4个容器中有红、白玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个

1 n

球，有什么样的取法？各种取法有多少种？

4S,C：取法及取法种数——都不取白球（全取红球）：C0(C4)；取一42个白球（1白3红）：C14(C3：C2)；取2个白球（2白2红）(C4)；取34410个白球（3白1红）：C3：C4(C4)；取4个白球（无红球）(C4)。

44T：不作多项式运算，用组合知识来考察，展开abababab，展开式中有哪些项？各项系数是什么？

S：都不取b(a4)；取1个b(a3b)；取2个b(a2b2)；取3个b(ab3)；取4个b(b4)，各项系数分别是C0，C14，C2，C3，C4

4444T：这两个问题的本质是一样的，只是表达形式不同. “取球”问题具体一点，(ab)4的乘法抽象一点.

1322234434T,C：(ab)4＝C0abababab

CCCC44444

＝a44a3b6a2b24ab3b4

评述：求(ab)4的展开式是本课的难点之一. 在二项式教学中，它起到承上启下的作用. 在这里，通过设计学生比较熟悉的“取球”问题，联系、类比到(ab)4的展开式，既分解了难度，又为二项式定理教学打下基础。

4.2点明课题

T：我们学***方公式和立方公式，这两个公式以及(ab)4的展开式就是今天学习的二项式定理的特殊形式. T,C：(ab)2a22abb2

(ab)3a33a2b3ab2b3

(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4

……

(ab)n?

4.3

猜想二项式定理

T：二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律.

2

1234S,C：(ab)4

——

C0，，，，

CCCC44444024

(ab)5

——

C5，C15，C5，C3，C5，C5

55T：

你能猜想(ab)n展开式的系数吗？

S,C：(ab)n

——

C0，C1n，C2

……

Cn

nnnC：

2. 关于字母及其幂指数的规律

T：

同学们通过观察(ab)4展开式，能否发现a、b的结构规律？

S：

a的指数由4逐一减少到0；而b的指数内0逐一增加到4. 每一项a、b的指数和都是4，即a4，a3b，a2b2，ab3，b4. T：

据此，请说出(ab)5的展开式. 0512345S,C：(ab)5C5aC5a4bC5a3b2C5a2b3C5ab4C5b5

T：

那么在(ab)n的展开式中，大家能猜想出a、b的指数规律吗？

S,C：a、b的指数规律——a的指数，从n逐一减少到0，且等于组合数的下标－上标；b的指数，从0逐一增加到n，且等于组合数的上标. 每一项a的指数与b的指数之和等于n. T：

牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”请大家大胆地猜想二项式定理.

S,C：猜想：

(ab)nCnan0n1n22nvvCnabCnabCnab12vCnnbn. 评述：1.认识事物的规律，遵循由特殊到一般的归纳过程. 在这里，考察二项展开式的系数和字母结构，猜想二项式定理，就是这样的认识过程. 归纳思想是一个重要的数学思想，提高学生的归纳能力，是本课教学的一个重点.

4.5

对公式的再认识

T,S,C：1.通项公式：Tr1Crnanrbr

2.规律：（1）项数：n1项

（2）二项式系数：Crn，即C0，C1n，……，Cn，与nn

3

首末等距离的两项的二项式系数相等.

（3）a、b的指数（略）

4.6

公式的初步应用【学生练习】

1.写出(1q)7的展开式（解略）

2.写出(1x)n的展开式（略）

3.写出(ab)n的展开式（略）

4.求(2a3b)b展开式中的第3项

2解：T3C6(2a)4(3b)215(16a2)(9b2)2160a4b2

5.求(3b2a)b展开式中的第3项

2解：T3C6(3b)4(2a)215(81b4)(4a)4860a2b4

T：

比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？

S：

公式中的a、b不能互换.

T：

对. 求整个展开式，a、b可以互换，但求某一项时，a、b不能互换。. T：

第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？

S：

15，2160. 两者不同. T：

是的. “二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别。. 4.7

小结

T,C：1.本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理。

2.数学思想和方法是数学的灵魂. 本课教学突出归纳思想。

3.二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律.

4.二项式定理体现了数学美：简洁美、和谐美、对称美。

4.8

作业（略）

4