1.3 二项式定理（通用）教案2

龙川县田家炳中学“十佳课堂教学能手”评选参赛作品教学设计

《1.3.1二项式定理》教学设计

执教人：魏海燕

一、学情分析：

学生为体育术科学生，数学基础相对比较薄弱。通过上一节课的学习，学生已经初步理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法的运算法则，有一定的归纳猜想能力。此外通过指导学生进行课前预习，能顺利完成课时计划内容。

二、教材分析：

《1.3.1二项式定理》是选修2-3第一章的内容，它是计数原理的一个应用，同时也是为我们即将学习的《第二章随机变量及其分布》作准备，具备承前启后的作用。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识。

三、教学目标：

1.

知识技能目标

（1）

理解二项式定理是代数多项式乘法公式的推广；

（2）

理解并掌握二项式定理，能够利用计数原理证明二项式定理；

（3）

熟练掌握并运用二项式定理对简单的二项式进行展开，掌握和区分系数与二项式系数的区别，并能够运用通项公式求出指定项。

2.

过程与方法目标

学生通过探索二项式定理的形成过程，提高学生观察、分析、归纳的能力，以及划归的意识与方法迁移的能力，体会归纳—猜想—论证的思想方法，发展探究能力。

3.

情感、态度、价值观目标

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁与严谨。

四、教学重点、难点

重点：

用两个计数原理分析错误！未找到引用源。的展开式，归纳地得出二项式定理，并能用计数原理证明；掌握二项展开式的通项公式；能够利用它解决一些简单的问题。

难点：

（ab）的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

用两个计数原理分析推导3五、教学方法：

回顾→

问题提出→新课讲解，师生探讨（特殊—一般—特殊）→例题精讲→变式训练→反思总结。

六、教学时数：

1课时

七、教学过程：

1

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（一）回顾

组合→组合数→组合数的计算公式

（二）问题提出：

（1）今天是星期二，14天后的这一天是星期几呢？25天后的这一天呢？

师生归纳：比如25374，所以25天后是星期六。

算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用2加余数来推算。

（2）8200天后会是星期几呢？我们会发现此时即使用计算器也不易求出8200除以7的余数，那么此时我们该怎么办呢？是否可以利用8与7的关系，871，得到2008200（71）？学习完这节课我们就知道答案了，并且我们还可以不用查日历就能知道未来任何一天是星期几，即此时我们需要研究(ab)n?

（nN）设计意图：提出问题激发学生探索的欲望，并引出课题。

22222（ab）（ab）（ab）aabbaba2abb（3）

32（ab）（ab）（ab）（ab）（ab）（ab）a33a2b3ab2b3

设计意图：体会多项式乘法计算过程，加深对因式展开原理的理解。

师生活动：与学生一同计算，得到结果，为后面做铺垫。

（三）新课讲解

探究一

能否运用两个计数原理或者我们刚学的组合思想分析

的展开式？

（1）展开后，各项是怎么构成的？

（2）展开式都有哪些项？

（3）展开后各项的系数？

设计意图：考察学生对因式展开的各项形式及系数的理解。

师生活动：引导学生说出自己的思路，老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。

2（ab）（ab）（ab）a2abbab2a22abb2

从上述过程可以看到，(ab)

是两个（a+b）相乘，

根据多项式乘法法则，每个（a+b）在相乘时有两种选择，

选a或b，而且每个（a+b）都选定后，才能得到展开式的一项。

2(ab)于是，由分布乘法计数原理，在合并同类项之前

的展开式

22222共有

项，

而且每一项都是a

2kbk(k0,1,2)

的形式。

2kkab(k0,1,2)

同类项的个数。

下面我们再来分析一下形如的

2

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当k=0时，a2kbka2

，

是由2个（a+b）中都不选b得到的，

0C2相当于从2个（a+b）中取0个b（即都取a）的组合数，

2a因此

只有一个；

2kkabab

，

当k=1时，是由一个（a+b）中选a，另一个（a+b）中选b得到的。

由于b选定后，a的选法也随之确定。

相当于从2个（a+b）中取1个b的组合数

，即ab共有

当k=2时，

，

是由2个（a+b）中都选b得到的。

2C相当于从2个（a+b）中取2个b（即都取b）的组合数2

，

1C2个；

2b因此只有一个；

所以，

2212222（ab）C02aC2abC2ba2abb

探究二

3（ab）、观察展开式的项数、指数及其系数变化，你发现了什么样的规律？由此猜想4n（ab）（ab）、

展开式中的项数、指数及其系数变化又如何呢？试着写出他们的展开式。

回答：

303222333223（ab）C3aC13abC3abC3ba3ab3abb

44132223344432234（ab）C04aC4abC4abC4abC4ba4ab6ab4abb

n0n1n1knkknn（ab）CnaCnab...Cnab...Cnb(nN*)

设计意图：让学生通过特殊的例子取观察相同之处和不同之处的处理方法，从而提出猜想。

师生活动：

学生先观察，然后总结特点：

.项数是指数加1；字母a按降幂排列，字母b按照升幂排列，二者指数之和是二项式的指数；每一项的系数有上面的问题3给出，这很好的突破了本节的难点。

探究三：

对于猜想（ab）CnaCna

n0n1n1knkknn我们如何证明这b...Cnab...Cnb(nN*)，3

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一猜想呢？

（ab）是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时，有两种选择，选a或选b，由证明：k分步计数原理可知共有2项（包括同类项），其中每一项都是an-kb（的形k0,1,2，...，n）nn式，对于每一项an-kbk，它是由k个（a+b）选了b，n-k个（a+b）选了a得到的，它出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个b的组合数Ckn，将它们合并同类项，就得到二项展开式：

n0n1n1knkknn（ab）CnaCnab...Cnab...Cnb(nN*)

我们把这一公式叫做二项式定理。

设计意图：让学生体会利用组合思想从特殊到一半，对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。

师生活动：师生讨论证明思路，通过阅读课本上的证明过程，老师最后做出方法归类，提示学生证明的思路—数学归纳法。

探究四

观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？

1)

项：二项展开式共有n+1项；

2)

次数：各项的次数都等于n；

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n 3)

二项式系数：C

（,2，...，n}）nk{0,14)

二项展开式的通项：

Tk1Cnakn-kkbk

设计意图：考察学生的观察力，以及分析问题的能力

若令a=1，b=x，则得到公式：

n01kknn（1x）CnCnx...Cnx...Cnx(nN*)

设计意图：对二项式定理的一个简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或者赋表达式。

（四）例题精讲

例1

（课本p30例题1）

（2x-求16）的展开式

xn（ab）的展开式，是解决此类问题的关键，类似于课本例题1，首先我们方法总结：熟记

4

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可以直接利用二项式定理展开并化简；此外，我们也可以对其根据二项式的结构特征先进行适当变形，以简化展开二项式的过程，从而使问题的解决更加方便。

解：方法一

（2x-16）x0615C（2x）C（2x）（-66112132433）C（2x）（-）C（2x）（-）

66xxx14151642516C（2x）（-）C（2x）（-）C（-）666xxx60121-23

xxx64x3-192x2240x-160方法二

16）x

2x-1610615243342516（）3[C（（（（（（62x）C62x）C62x）C62x）C62x）C62x）C6]xx（2x-64x3-192x2240x-16060121-

xx2x3师生活动：学生自主完成，老师进行检查，通过黑板上做练习对学生的结果进行展示，错误时做出点拔与分析。

例2（课本p31例2）

（12x）的展开式的第4项的系数；

（1）求（x-）的展开式的第x3项的系数；

（2）求分析：对于（1），有两种解题方法，第一种方法利用二项式的展开式解决；第二种方法利用二项展开式的通项公式。

解：

（1）第种方法

7（12x）071727237347457567677771x9CC（2x）C（2x）C（2x）C（2x）C（2x）C（2x）C（2x）

114x84x280x560x672x448x128x第种方法

k7-kk

Tk1C71（2x）7-33T4T31C32x）280x3

71（234567所以展开式第4项的系数是280.

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注意：

某项的系数与二项式系数的区别，前者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有kC关；后者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数n。

方法总结：

在求展开式中的某些特定项时，应先确定哪些项是要求的项，再用通项公式求解。

设计意图：熟悉二项式定理及其二项展开式的通项，学会运用二项展开式求解二项式系数及其展开式系数以及给定项问题。

（2）

1kk9-kkk9-2kTk1C9x（-）（-1）Cnx

x根据题意，得

9-2k=3，

k=3。

因此，x的系数是

33（-1）C9=-84 3方法总结：

n-kk通项公式Tk1Ckb中含有a，b，n，k，Tk15个量，只要知道其中四个量，便na可求出第5个量。在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题。这通常是化归为方程的问题来解决。

师生活动：

教师版演过程，给学生以示范，为后面步骤的整洁做铺垫。

【变式训练】

1.（p31.练习1）

求（pq）的展开式

解：

7716252343434556677（pq）C07pC7pqC7pqC7pqC7pqC7pqC7pqC7q

7

p7pq21pq35pq35pq21pq7pqq

2.解疑：问题二

2008200（71）765243345672001991981973198219910C0C1C2C3C19720072007200720072007C2007C2007C200

19919819719621981199（7C0C1C2C3C197C020072007200720072007C2007C200）200

19911982197319619721981199（7C07C7C7C7C7C7C1

200200200200200200200）

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200余数为1，所以8天后为星期三。

设计意图：对二项式定理的一个简单应用，帮助学生学习二项式定理在解决问题时的方法：赋值或者赋表达式。

（12x）的展开式的第4项的二项式系数；

3 . 求（x-1）的展开式的第6项的系数是_____；

4.（p31练习第4题）求

107八、

作业设置

课本p37习题1.3A组第3、4题

九、板书构想

7