信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例名师课堂实录

【课题】5．5 线性规划问题的应用举例

【教学目标】

知识目标：用六个案例介绍了线性规划模型在生产实际中的应用. 能力目标：通过六个案例，学习线性规划模型建立的方法和技巧.

【教学重点】用适当的方法，解决线性规划问题.

【教学难点】用适当的方法，解决线性规划问题.

【教学设计】

1．本节分别介绍了投资问题，生产安排问题，环境保护问题，混合问题，运输问题和下料问题等六个案例，通过这些具体的案例，使学生认识线性规划的应用. 2．①案例1是一个投资计划制定问题，要在可承受的亏损范围内，使获利尽可能的多，因此目标函数是获得利润，约束条件是资金限制和亏损的承受范围.这是二元线性规划问题，故可用图解法解得.

②案例2是一个简单的生产安排问题，生产所获利润取决于三种产品的产量，因此以三种产品产量为决策变量，表格中列出了资源限制条件，据此可得约束条件.

③案例3是一个环境保护问题，其中各种因素已经作了简化，在列出的三个条件中，（3）成立必使（2 ）成立，因此条件有冗余，作简化后得约束条件.

④案例4是混合问题，类似于案例2.

⑤案例5是运输调配问题，这是一类典型的问题，一般的运筹学教材中都会专门介绍，本例是产销平衡的，要使总费用最低，必须知道各调运路线的运量，因此所设决策变量较多，为便于学生理解，变量写成教材的形式，有时我们也可用双下标的形式来表示变量.

⑥案例6是下料问题，与前面所举例一样，只是截法增多了.

教

学

过

程

*新阶段学习导入语

线性规划是目前应用非常广泛也非常成功的一种数学方法，但由于实际问题是复杂的，千变万化的，因此下面仅举一些经过简化的几种不同类型的问题.

教师

行为

介绍

介绍

说明

学生

教学

行为

意图

倾听

了解

引领

学生

了解新阶段的

学习的重点

了解

引入教学内容

时间

3 *揭示课题

了

前面我们已经学习了三种解线性规划问题的方法分别为图解法、

表格法、Excel软件法.它们各有利弊，本节就实际问题，选用式当的方

法解决线性规划问题.

第5章

线性规划（教案）

3 这就是我们将要研究学习的5.5线性规划问题的应用举例.

*创设情景

兴趣导入

案例1

投资问题

制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目如何投资，才能使可能的盈利最大？试建立线性规划模型，并用图解法求解. 解

设投资人投资甲项目x万元，投资乙项目y万元.

播放

课件

引导

分析

y10

观看

课件

思考

自我

建构

明确可行域为阴影部分

5

15

从实际问题出发，学生自然

的学习知识点

图像法解决

回忆

图像法的解题步骤

xy10目标函数最大化maxZx0.5y，满足

0.3x0.1y1.8

x0,y0.

0.3x+0.1y=1.8

A5x+y=10

O510xz=0画出可行域，如图5-10

找出可行域

作出目标函数zx0.5y

的0等值线。即x0.5y0,将0等值线项可行域内平行移动至点A处.此时目标函数取最大值. xy10解方程组

0.3x0.1y1.8得点A的坐标为（4，6）

所以，当x=4,y=6时，目标函数Z取得最大值maxZ40.567

答

问题的最优解为分别投资甲、乙两项为4万元和6万元，其可能盈利最大为7万元. 案例2

生产安排问题

一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产A

、B、C三种混纺面料

，生产1单位产品需要的原料如下表（表5.15）所示：

第5章

线性规划（教案）

表5.15 产品

A B C 原料

羊毛

3 1 2

播放

观看

课件

思考

讨论

分析题意，选择解题方法

表格法解决

涤纶

2 1 4 课件

引导

这三种产品的利润分别为4、1、5，每月可购进的原料限额为羊毛8 000单位，涤纶为6 000单位，问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润？请建立线性规划模型，并用表格法求解. 解

设生产产品

A为x1

单位，产品

B为x2

单位，

产品C为x3

单位, 目标函数maxZ4x1x25x3，

分析

3x1x22x38000满足

2x1x24x36000

x0,x0,x0.231表格计算过程如下（为简便起见，将3张表合并一起，用左边的序号表示表格的顺序

）

表5.16 Cj

1 4 CB

XB

0 0

2 0 5

3 4 1 5 0 0

x1

3 2 4 x2

1 1 1 x3

x4

x5

2 (4) [5] 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 bi

8000 6000 0 5000 1500 7500 2500 i

4000 [1500]

[2500] 3000

x4

x5

j

x4

1

(2) 211x3

2431j

[] 

241x1

1 41

21

45

41

41

2

第5章

线性规划（教案）

5 x3

0 1

85

81 14

3

87

8

25

250

j

0 0 34

11250

得到最优解：生产A为2 500单位，B为0单位，C为250单位，最大利润为11 250单位 .

案例3 环境保护问题 某河流旁设置有甲、乙两座化工厂，如图5-11所示，已知流经甲厂的河水日流量为50010m,在两厂之间有一条河水日流量为20010m的支流. 甲、乙两厂每天生产工业污水分别为210m和1.410m，甲厂排出的污水经过主流和支流交叉点P后已有20%被自然净化.按环保要求，河流中工业污水的含量不得超过0.2%，为此两厂必须自行处理一部分工业污水，甲、乙两厂处理每万立方米污水的成本分别为1 000元和800元.问：在满足环保要求的条件下，各厂每天应处理多少污水，才能使两厂的总费用最少？试建立规划模型，并求解.

污水厂

甲厂

43434343乙厂

解

设甲、乙两厂每天分别处理污水量为x、y（单位：10m）. 目标函数 minZ1000x800y . 在甲厂到P点之间，河水中污水含量不得超过0.2%，所以满足

43

2x2≤

5001000在点P到乙厂之间，河水中污水含量也不得超过0.2%，所以应满足

(2x)(10.2)2≤

5002001000

第5章

线性规划（教案）

流经乙厂以后，河水中污水含量仍不得超过0.2%，所以应满足

35

(2x)(10.2)(1.4y)2≤

5002001000综上，得线性规划模型：

目标函数 minZ1000x800y x10.8xy1.6满足

x2y1.4x0,y0利用Excel软件求解结果为x1104m3,y0.8104m3

总费用最少为1 640元.

案例4 混合问题 某养猪场所用的混合饲料由

A

、

B

、

C三种配料组成，表5.17给出1单位各种配料所含的营养成分，单位成本以及1份混合饲料必须含有的各种营养成分，问如何配制饲料时成本最小？ 表5.17 配料

A B C 1份饲料应含量

解 设xj 为混合饲料中第j中配料的含量，jA,B,C, 目标函数 minZ6xA3xB2xC, 营养成分

D 1 1 1 20 E F 2 1 1 10 单位成本

6 3 2

1

21

21

46 满足

xAxBxC20111xAxBxC6

2242xAxBxC10xA,xB,xC0利用Excel软件求解（请读者完成）结果为xA0,xB4,xC16

第5章

线性规划（教案）

总费用最少为44.

案例5 运输问题 设有两座铁矿山A、B，另有三个炼铁厂甲、乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对应的运价（元）如表5.18给出，问怎样调运送矿石才能使总费用最小？

表5.18 铁矿山

A B 矿石需求量

解

设x1为从

A

运到甲厂的运量，

x2为从

A运到乙厂的运量，

x3为从

A运到丙厂的运量，

y1为从

B

到甲厂的运量，

炼铁厂

甲

6 1 50 乙

9 3 30 丙

12 3 25 产量

60 45 105 45

55

y2为从

B到乙厂的运量，

y3为从

B到丙厂的运量，

根据表中给出的条件，建立线性规则模型如下：

minZ6x19x212x3y13y23y3

x1x2x360yyy45231x1y150满足

x2y230x3y325xi,yi0,i1,2,3.利用Excel软件求解（请读者完成），结果为

x150,x210,x30,y10,y220,y325,总费用最少为525元. 案例6

下料问题

将长为5米的钢管，分别截成0.98m和0.78m两种规格的材料，长0.98m的需1 000根，长0.78m的需2 000根，问怎样截法，才能使所用钢管最少？

解

将长为5米的钢管，分别截成0.98m和0.78m两种规格的材料，共有如表5.19所列可能截法.

第5章

线性规划（教案）

表5.19 截法

1 2 3 4 5 6 0.98m 5根

4根

3根

2根

1根

0根

0.78m 0根

1根

2根

3根

5根

6根

料头（m）

0.1 0.3 0.5 0.7 0.12 0.32

65

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

情况

75

显然，为了节省钢管，不能一根钢管只截一段一种规格的材料，而应采用合理套截方法，为此，必须综合考虑这6种截法. 设采用第j种截法的钢管数为xj根（j1,2,6）

建立线性规划模型：

目标函数

minZx,

jj165x14x23x32x4x51000满足x22x33x45x56x62000

xj0,j1,2,6.利用Excel软件求解，结果为

x1120,x20,x30,x40,x5400,x60,最少钢管数为520根. *运用知识

强化练习 练习5.5 1.食品

A、B中都含有维生素、淀粉和蛋白质，但单位含量各不相同，价格也各不相同，数据如下表所示：

成分

维生素

淀粉

蛋白质

价格

食品A 1 5 3 1.2 食品B 3 1 2 1.9 最低需要

90 100 120

今有一消费者购买上述两种产品，要求其中维生素、淀粉和蛋白质的单位数不能低于90、100、120.该消费者应购买A、B各多少，才能使营养适当而价格最低？

2.现有一批7.4m长的钢管，生产某产品需长2.9m,2.1m,1.5m的三种钢管各为100，100，120根，问如何截取才可使原材料最省？

第5章

线性规划（教案）

*理论升华

整体建构

本次课重点学习了选用适当的方法解线性规划问题.

总结

归纳

交流

理解

体会

从整体再一次

突出解题方法

培养

学生

总结

学习

过程

能力

80 *归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

（1）本次课学了哪些内容？

（2）通过本次课的学习，你会解决哪些新问题了？

（3）在学习方法上有哪些体会？

引导

提问

回忆

反思

88

90 *继续探索

活动探究

(1)阅读理解：

教材5.5；

(2)书面作业：学习与训练5.5训练题；

(3)实践调查：

应用适当的方法解线性规划问题.

说明

记录

第5章

线性规划（教案）