小结优秀说课稿

3．4．1【教学目标】

基本不等式（1）

1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab【教学难点】

基本不等式abab的证明过程；

2ab等号成立条件

2【教学过程】

1.课题导入

基本不等式abab的几何背景：

2探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色

的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

2 合作探究

（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。

系）

提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

生答：a2b2，ab

22提问3：那4个直角三角形的面积和呢？

生答：2ab

提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，ab2ab。什么时候这两部分面积相等呢？

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH变成一个点，这时有22a2b22ab

22结论：（板书）一般地，对于任意实数

a、b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立。

提问5：你能给出它的证明吗？

(学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: ab2ab(ab),当ab时，(ab)0,当ab时,(ab)0,

所以 ab2ab

2222222

22注意强调 当且仅当ab时, ab2ab

(2)特别地,如果a0,b0,用a和b分别代替a、b,可得ab2ab,也可写成

abab(a0,b0),引导学生利用不等式的性质推导

2(板书,请学生上台板演): abab(a0,b0) ①

2即证 ab ②

要证②,只要证 ab 0 ③

要证: 要证③,只要证 ( - )

0 ④

显然, ④是成立的,当且仅当ab时, ④的等号成立

(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ab2ab2

探究：课本中的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为2ab的几何解释吗？

2ab，显然，它大于或等于CD，即2号abab，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等2成立. 因此：基本不等式ab评述：1.如果把ab几何意义是“半径不小于半弦”

2ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：

（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy由 100,

篱笆的长为2（xy）

xyxy，

2

可得 xy2100

2（xy）40

等号当且仅当xy时成立，此时xy10，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m (2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（x积为xym2，

由 xyy）=36，xy=18，矩形菜园的面xy189,可得 xy81, 22可得等号当且仅当xy时成立，此时xy9

即学即练: 41.已知x＞0，则x＋＋3的最小值为（ ）. x（A）4 （B）7 （C）8 （D）11 12.设函数f（x）＝2x＋－1（x＜0），则f（x）（ ）. x（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数

当堂检测：

1.下列叙述中正确的是（ ）. （A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数

（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数

（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值

（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值

2.下面给出的解答中，正确的是（ ）. 1（A）y＝x＋≥2xx·＝2，∴y有最小值2 x4|sinx|·＝4，∴y有最小值4 |sinx|2）＝（214（B）y＝|sinx|＋≥2|sinx|（C）y＝x（－2x＋3）≤（x－2x＋3－x＋32），又由x＝－2x＋3得x＝1，

2∴当x＝1时，y有最大值（9－1＋32）＝1 2（D）y＝3－x－

x≤3－2x·9x＝－3，y有最大值－3

3.若0ab且ab1，则下列四个数中最大的是

（

）

Ａ．

4.a,b是正数，则Ａ．Ｃ．1

Ｂ．2ab,2a2b2

Ｃ．2ab

Ｄ．a

ab,2ab三个数的大小顺序是

（

）

abab2abab2ab

Ｂ．ab

ab2ab2abab2abab

ab2

2abab

Ｄ．abab2

课后练习与提高

1. 已知x、y都是正数，求证：

①

如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2p

②

如果和xy是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S

142[拓展探究]

1112. 设a, b, c(0,),且a+b+c=1，求证：(1)(1)(1)8.

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