复习参考题优质教案设计

第2讲

不等式

1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点．

2．一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围．

3．利用不等式解决实际问题．

热点一

不等式的解法

1．一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

2．简单分式不等式的解法

fx(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．

gxfx(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. gx3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．

x12e，x<2，例1

(1)(2017届湖南衡阳八中月考)设f(x)＝

则不等式f(x)>2的解集2log3x－1，x≥2，－

为(

) A．(1,2)∪(3，＋∞)

C．(1,2)∪(10，＋∞)

答案

C 解析

令2ex1>2(x<2)，解得12(x≥2)，解得x>10，则不等式f(x)>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)，故选C. (2)(2017届安徽师大附中期中)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为______________．

11x<－或x>

答案

x32

5b解析

根据题意可得＝－1，＝－6，∴a＝－5，b＝30，

aa11x<－或x>. ∴bx2－5x＋a>0可化为6x2－x－1>0⇔(3x＋1)(2x－1)>0，∴不等式的解集为x32

思维升华

(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．

(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．

(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．

5－x跟踪演练1

(1)(2017届安徽淮北一中模拟)不等式≥0的解集是__________．

x－1答案

{x|1

原不等式化为≥0，即≤0，

x－1x－1x－5x－1≤0，等价于解得1

x－1≠0，

5－x即不等式≥0的解集是{x|1

x－1(2)已知函数f(x)＝ln|x|，则f(x)>1的解集为________________．

答案

(－∞，－e)∪(e，＋∞) ln－x，x<0，解析

函数f(x)的解析式为f(x)＝

ln x，x>0.

当x>0时，解f(x)＝ln x>1，得x>e，即x的取值范围是(e，＋∞)；当x<0时，解f(x)＝ln(－x)>1，

得x<－e，即x的取值范围是(－∞，－e)．

综上可得f(x)>1的解集为(－∞，－e)∪(e，＋∞)．

热点二

基本不等式的应用

利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，1当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．

4例2

(1)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(

) A．2

B．4

C．6

D．8 答案

B 解析

由题意，得lg a＋lg b＝lg(a＋b)，

11即ab＝a＋b⇒＋＝1. ab11ba＋＝2＋＋

因为a>0，b>0，所以a＋b＝(a＋b)abab≥2＋2ba·＝4，当且仅当a＝b时取等号，故选B. ab

a2＋b2(2)(2017届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)已知a>b，且ab＝1，则的最小值是a－b________．

答案

22 a2＋b2a－b2＋2ab2解析

＝＝a－b＋≥22，

a－ba－ba－b2当且仅当a－b＝时取得等号．

a－b思维升华

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．

跟踪演练2

(1)(2017届昆明摸底统测)已知a>1，b>1，且ab＋2＝2(a＋b)，则ab的最小值为________．

答案

6＋42 解析

因为ab＋2＝2(a＋b)≥4ab，当且仅当a＝b时取等号，所以(ab－2)2≥2. 因为a>1，b>1，所以ab≥2＋2，ab≥6＋42. 即ab的最小值为6＋42. 14(2)(2017届无锡市普通高中期中)已知正实数a，b满足a＋3b＝7，则＋的最小值为1＋a2＋b______．

答案

解析

13＋43

1414141＋＝[(a＋1)＋3(2＋b)]1＋a＋2＋b

1＋a2＋b1432＋b4a＋113＋4332＋b4a＋11＋＝13＋≥，当且仅当＝时取等号．

1414a＋12＋ba＋12＋b热点三

简单的线性规划问题

解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．

2x＋3y－3≤0，例3

(1)(2017·全国Ⅱ)设x，y满足约束条件2x－3y＋3≥0，y＋3≥0，(

) A．－15

B．－9

C．1

D．9 答案

A

则z＝2x＋y的最小值是

解析

不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线知，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.故选A. x＋y≥1，(2)若x，y满足x－y≥－1，2x－y≤2，(

) A．(－1,2)

C．(－4,0]

答案

D 解析

作出不等式组对应的平面区域如图，当a＝0时，显然成立；当a>0时，直线ax＋2yaa－z＝0的斜率k＝－>kAC＝－1，计算得出a<2，即0－4，即－4

且z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是

思维升华

(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．

(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．

x＋2y≤1，跟踪演练3

(1)(2017·全国Ⅰ)设x，y满足约束条件2x＋y≥－1，x－y≤0，为________．

答案

－5

则z＝3x－2y的最小值

解析

作出可行域如图阴影部分所示．

3z由z＝3x－2y，得y＝x－. 2233z作出直线l0：y＝x，并平移l0知，当直线y＝x－过点A时，z取得最小值．

222x＋2y－1＝0，由

2x＋y＋1＝0，

得A(－1,1)，∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5. x－y＋1≥0，y＋1(2)(2017届重庆市第一中学模拟)已知实数x，y满足x＋y－3≥0，则z＝的最大值为2x3x－y－5≥0，________．

5答案

6x－y＋1≥0，解析

画出约束条件x＋y－3≥0，3x－y－5≥0

y＋1表示的可行域，如图，就是可行域内的点P(x，y)xx－y＋1＝0，y＋1与点A(0，－1)连线的斜率，由得直线交点为(3,4)，当P在点(3,4)时，有x3x－y－5＝0，

4＋15y＋15最大值＝，则的最大值为. 332x6

真题体验

x≤3，1．(2017·北京改编)若x，y满足x＋y≥2，y≤x，答案

9 解析

作出可行域如图阴影部分所示．

则x＋2y的最大值为________．

11设z＝x＋2y，则y＝－x＋z. 221作出直线l0：y＝－x，并平移该直线，

211可知当直线y＝－x＋z过点C时，z取得最大值．

22x＝3，x＝3，由得故C(3,3)．

y＝x，y＝3，

∴zmax＝3＋2×3＝9. 2．(2016·浙江改编)已知实数a，b，c，则下列正确的是________．(填序号) ①若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；

②若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；

③若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；

④若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100. 答案

④

解析

对①，当a＝b＝10，c＝－110时，此式不成立；

对②，当a＝10，b＝－100，c＝0时，此式不成立；

对③，当a＝10，b＝－10，c＝0时，此式不成立．

故填④. 3．(2016·上海)设x∈R，则不等式|x－3|<1的解集为__________．

答案

(2,4) 解析

由－1

a4＋4b4＋14．(2017·天津)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

ab答案

4 解析

∵a，b∈R，ab＞0，

a4＋4b4＋14a2b2＋11∴≥＝4ab＋≥2abababa2＝2b2，当且仅当14ab＝，ab14ab·＝4，

ab

a＝22，即2b＝422

时取得等号．

a4＋4b4＋1故的最小值为4. ab押题预测

111．已知x，y为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是(

) xy79A．3

B. C．4

D.

22押题依据

基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合．

答案

C x＋y11解析

由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y＋，

xyxy∵x>0，y>0，∴5≥x＋y＋x＋y4＝x＋y＋，

x＋yx＋y22当且仅当x＝y时取等号，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，

解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4. 2．在R上定义运算：a

c

x－1

a－2＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，da＋1

xb则实数a的最大值为(

) 1313A．－

B．－

C.

D.

2222押题依据

不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容．往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式．

答案

D 解析

由定义知，不等式x－1

a－2≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，

a＋1

x∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．

133x－2＋≥，

∵x2－x＋1＝244313∴a2－a≤，解得－≤a≤，

4223则实数a的最大值为. 23x＋y－6≥0，3．设变量x，y满足约束条件x－y－2≤0，y－3≤0，A．－6

C．7

B．6 D．8

则目标函数z＝4x＋y的最小值为(

) 押题依据

线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点．

答案

C 3x＋y－6≥0，解析

由x，y满足的约束条件x－y－2≤0，y－3≤0，

画出可行域如图所示，当直线z＝4x＋y过点C(1,3)时，z取得最小值且最小值为4＋3＝7，故选C.

a16b4．若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(

) baA．(－4,2) C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－2,0) 押题依据

“恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点．

答案

A a16ba16b解析

不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x2＋2x<b＋amin. baa16b因为对任意a，b∈(0，＋∞)，＋≥2ba所以x2＋2x<8，解得－4

baba

A组

专题通关

11ab1．已知下列四个关系：①a>b⇔ac2>bc2；②a>b⇒<；③a>b>0，c>d>0⇒>；④a>b>1，abdcc<0⇒ac

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 11ab解析

当c＝0时，①不正确；当a>0>b时，②不正确；由于c>d>0，所以>>0，所以>>0，dcdc③正确；由于a>b>1，当x<0时，ax

logx，x>0，22．若函数f(x)＝则“0

) x1－2＋2，x≤0，A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

当0

所以“0

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

x>0，若f(x)<0，则或x1log2x<0－2＋<0，

x≤0，2

解得0

所以“f(x)<0”⇏“00，b>0且a＋b＝1，则－－的上确界为(

) 2ab991A.

B．－ C.

D．－4 224答案

B 125b2a125＋(a＋b)＝－＋＋≤－＋2 解析

－－＝－2ab22ab2ab2b2a2当且仅当＝，即b＝2a＝时取等，

2ab39所以原式的上确界为－，故选B. 29b2a×＝－2，

2ab

214．(2017届山东菏泽一中月考)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实xy数m的取值范围是(

) A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)

C．(－2,4)

答案

D 21214yx4yx＋＝4＋＋≥4＋24＝8，当且仅当＝时取等号. 解析

∵＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)xyxyxyxy∵x＋2y>m2＋2m恒成立，∴m2＋2m<8，求得－40，5．已知实数x，y满足y≥x，2x＋y－6≤0，A．1

B．3

C．4

D．6 答案

C 2x＋y＋2y－－2解析

画出可行域如图所示，由图可知目标函数＝2＋在点A(2,2)处取得最xx－0小值4. B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) D．(－4,2)

2x＋y＋2则的最小值为(

) x

x≤1，26．(2017届河南南阳一中月考)已知实数x，y满足不等式组x－y＋m≥0，x＋y－1≥0，＝－2x＋y的最大值不超过4，则实数m的取值范围是(

) A．(－3，3)

B．[0，3]

C．[－3，0]

D．[－3，3] 答案

D 解析

作出不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数z＝－2x＋y可变形为y＝2x＋z，解方程组

2x－y＋m＝0，可得x＋y－1＝0，

若目标函数z

1＋my＝2，21－m2x＝，2

1－m1＋m平移目标直线到经过点A2，2时，目标函22

1－m21＋m2数z＝－2x＋y取得最大值，所以(－2)×＋≤4，

22解得m∈[－3，3]，故选D.

x＋y≥a，7．(2017·武汉市武昌区调研)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，x－y≤－1，

则a等于(

) A．－5

B．3

C．－5或3

D．5或－3 答案

B 解析

根据约束条件画出可行域如图所示．

可知可行域为向上开口的V字型，即在顶点处z有最小值，顶点为＋aa＋12＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图，

a－1a－1a＋1，代入z＝，222

虚线向上移动时z减小，故z可以取无穷小，没有最小值，故只有a＝3满足题意．

x－2y－5≤0，8．(2017届唐山期末)设实数x，y满足约束条件x＋y－4≤0，则z＝x2＋y2的最小值为3x＋y－10≥0，(

) A.10

B．10

C．8

D．5

答案

B 解析

作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为z＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x＋y－10＝0垂直时z＝x2＋y2取得最|3×0＋0－10|2小值，此时垂直正好在平面区域内．所以zmin＝＝10，故选B. 32＋12

9．(2017届吉林市普通中学调研)已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区x＋y≥2，域x≤1，y≤2答案

[0,2]

→→解析

作出不等式组表示的平面区域，如图所示．由题意得OA·OM＝－x＋y，令z＝－x＋y，将其化为y＝x＋z，作出可行域和目标函数基准直线y＝x，当直线y＝x＋z向左上方平移时，直线y＝x＋z在y轴上的截距z增大．由图象得当直线y＝x＋z过点B(1,1)时，z取得最小值→→0，当直线y＝x＋z过点D(0,2)时，z取得最大值2，即OA·OM的取值范围是[0,2]．

→→上一个动点，则OA·OM的取值范围是________．

10．(2017·北京)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．

1答案

2，1

解析

方法一

由x＋y＝1，得y＝1－x. 11x－2＋. 又x≥0，y≥0，所以0≤x≤1，x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝22211x－2≤，

由0≤x≤1，得0≤2411即≤x2＋y2≤1.所以x2＋y2∈2，1. 2方法二

x2＋y2＝(x＋y)2－2xy，

已知x≥0，y≥0，x＋y＝1，

所以x2＋y2＝1－2xy. 因为1＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，

11所以0≤xy≤，所以≤1－2xy≤1，

421即x2＋y2∈2，1. 方法三

依题意，x2＋y2可视为原点与线段x＋y－1＝0(x≥0，y≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x2＋y2)min＝＝|OB|2＝1，

1故x2＋y2∈2，1. 11．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_______．

答案

30 解析

一年的总运费为6×6003 600＝(万元)，

xx|－1|2＝1，(x2＋y2)max＝|OA|222一年的总存储费用为4x万元，

3 600＋4x万元．

总运费与总存储费用的和为x3 600因为＋4x≥2x3 600·4x＝240，

x3 600当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

x所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

12．(2016·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

答案

216 000 解析

设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，x＋0.3y≤90，得线性约束条件为5x＋3y≤600，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，**1.5x＋0.5y≤150，

目标函数z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的四边形，

包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．

B组

能力提高

13．(2017·山东)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(

) 1bA．a＋＜a＜log2(a＋b)

b2b1B.a＜log2(a＋b)＜a＋

2b1bC．a＋＜log2(a＋b)＜a

b21bD．log2(a＋b)＜a＋＜a

b2答案

B 解析

方法一

∵a＞b＞0，ab＝1，

∴log2(a＋b)＞log2(2ab)＝1. 1ba－－－－∵a＝a＝a1·2a，令f(a)＝a1·2a，

2211又∵b＝，a＞b＞0，∴a＞，解得a＞1. aa∴f′(a)＝－a2·2a－a1·2a·ln 2 －－－－＝－a2·2a(1＋aln 2)＜0，

－－∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．

b1∴f(a)＜f(1)，即a＜. 221∵a＋＝a＋a＝2a＞a＋b＞log2(a＋b)，

bb1∴a＜log2(a＋b)＜a＋. 2b故选B.

1方法二

∵a＞b＞0，ab＝1，∴取a＝2，b＝，

21b1此时a＋＝4，a＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3，

b28b1∴a＜log2(a＋b)＜a＋. 2b故选B. x－y＋2≥0，14．(2017届安徽淮北一中模拟)若直线l：y＝ax将不等式组x＋y－6≤0，x≥0，y≥0域的面积分为相等的两部分，则实数a的值为(

) 7975A.

B. C.

D.

11111313答案

A 解析

画出可行域如图所示，由图可知，

表示的平面区

阴影部分总面积为14，要使S△ABC＝7，

114只需·AC·h＝7，即h＝. 2614将h＝代入x＋y－6＝0，

6146711解得x＝，即a＝＝. 3111131915．已知正数a，b满足＋＝ab－5，则ab的最小值为________．

ab答案

36 19解析

＋＝ab－5⇒ab－5≥2 ab9⇒(ab)2－5ab－6≥0⇒ab≥6⇒ab≥36，当且仅ab当b＝9a时取等号，因此ab的最小值为36. 16．已知a>b，二次三项式ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax20＋2x0a2＋b2＋b＝0成立，则的最小值为________．

a－b答案

22

解析

由题意，得a>b，二次三项式ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，所以a>0，且Δ2＝4－4ab≤0，所以ab≥1.由∃x0∈R，使ax0＋2x0＋b＝0成立，可得Δ＝0，所以ab＝1，所以a>1，

1a2＋24aa＋1a＋b所以＝＝>0，

1a3－aa－ba－a2214a＋＋2a＋12a＋1＋2aa4所以3＝6＝

a－aa＋a2－2a4a2＋1－2a2484a2＋122a2＋12－22＋4a2＋12－4aaa＝＝，

a2＋12－2a2＋12－2aa1令a2＋2＝t>2，

aa＋1t－2＋4t－2＋4

则32＝t－2a－a4＝(t－2)＋＋4≥4＋4＝8，当且仅当t＝4时取等号，

t－242a＋1所以32的最小值为8，

a－aa2＋b2所以的最小值为22. a－b4