1.3 二项式定理（通用）教案2

§1.3.1 二项式定理

【教学目标】

1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；

2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】

教学重点：二项式定理的内容及归纳过程

；

教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】

一、设置情景，引入课题

引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？

二、引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识

问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

2、（a+b）3展开式的再认识

问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？

合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？

教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的2一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C3· C1=3次，所以a2b的系数是13。

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？

可以对（a+b）4按a或按b进行分类：

（1）四个括号中全都取a，得：C4

a4

（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C4

a3· C1b

（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C4

a2· C2b

243122（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C4

a· C33b

31（5）四个括号中全都取b，得：C4

b

小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C4

a4；（2）取1个b：C4

a3b；（3）取2个b：C4

a2

b；（4）取3个b：C4

2440123ab3；（5）取4个b：C4

b，然后将上面各式相加得到展开式。

44结论：（a+b）4= C4

a4+ C4

a3b+ C4

a2

b+ C4

ab3+ C4b

2401234三、形成定理，说理证明

1

问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？

合作探究2:

(1) 将（a+b）n展开有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？

（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？

（4）如何确定“a”、“b”的系数？

0n1n1knkknn猜想：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，

n（1）不取b：C0n

a；

（2）取1个b：C1n ab；

n-1（3）取2个b：C2n ab；

n-22………………

（k+1）取k个b：Ckn ab；

n-kk………………

(n+1)取n个b：Cnn b；

n然后将这n+1个式子加起来，就得到二项展开式，

0n1n-1kn-kknn(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb(n∈N+) 这就是二项式定理。

四、熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征（由学生归纳，让学生熟悉公式）

（1）项数：共有n+1项；

（2）次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；

k（4）通项:Tk+1= Ck ab；指的是第k+1项，该项的二项式系数为Cnn；

n-kk（5）公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）的二项展开式。

例1

求(2xn1x)6的展开式

分析：为了方便，可以先化简后展开。

例2

①(12x)的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

7②求(x19)的展开式中含x3的系数。

x五、当堂检测

1.写出（p+q）7的展开式；

2

2.求（2a+3b）6的展开式的第3项；

313.写出x的展开式的第r+1项；

32x4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（

）

（A）C10

(B) 6565C10

(C) C10

(D)

C10

n答案：1.（p+q）7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.

六、课堂小结

0n1n1knkknn1.

公式：

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2.

思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式. （2）用计数原理分析二项式的展开过程. 七、布置作业

课本43页习题1.3 A组 2、3

3

§1.3.1 二项式定理

课前预习学案

一、预习目标

通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。

二、预习内容

1、（a+b）2=

（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________

（a+b）3=

（a+b）4=

2、二项式定理的证明过程

3、（a+b）n=

4、（a+b）n的二项展开式中共有______项，其中各项的系数______叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：_____________________

5、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有

（1+x）n=_______________________________________ 三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

一、学习目标

1.用计数原理分析（a+b）3的展开式，进而探究（a+b）4的展开式，从而猜想二项式定理。

2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。

3. 培养学生观察、分析、概括的能力。

二、学习重难点：

教学重点：二项式定理的内容及应用

教学难点：二项式定理的推导过程及内涵

三、学习过程

（一）探究（a+b）3、（a+b）4的展开式

问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？

合作探究一：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？

结论：（a+b）4= C4

a4+ C4

a3b+ C4

a2

b+ C4

ab3+ C4b4 2疑惑内容

01234（二）猜想、证明“二项式定理”

问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？

合作探究二: (1) 将（a+b）n展开有多少项？

4

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？

（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？

（4）如何确定“a”、“b”的系数？

二项式定理：

0n1n-1kn-kknn(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb(n∈N+) （三）归纳小结：二项式定理的公式特征

（1）项数：_______;（2）次数：字母a按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b按升幂排列，次数由____递增到______；

（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；

（4）通项:Tk+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；

（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。（四）典型例题

例1

求(2x16x)的展开式

分析：为了方便，可以先化简后展开。

例2

①(12x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

②求(x1)9的展开式中含x3x的系数。

（五）当堂检测

1.写出（p+q）7的展开式；

2.求（2a+3b）6的展开式的第3项；

n3.写出31x23x的展开式的第r+1项；

4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（

）

（A）C610

(B) C65510

(C) C10

(D)

C10

课后练习与提高

1．在x310的展开式中，x6的系数为

（

A．27C610

B．27C410

C．9C610

D．9C410

2．已知（a1n3a2)的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是

（

5

）

）

A．10

3．(x2B．11

C．12

D．13

19)展开式中x9的系数是

2x1214.x

的展开式中常数项为

3x5. 1x31x的展开式中，含x5项的系数是

. 106. 若xa100的展开式中x前的系数是9900，求实数a的值。

98答案：1.D；

2.C；

3．21；

4.220;

5.207 ；

6. a=±2

2

6

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

【教学目标】

1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；

2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；

3.

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

【教学重难点】

教学重点：二项式系数的性质及其应用；

教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

【教学过程】

一、复习引入

1、二项式定理：________________________________________________；

二项式系数：______________________________________________；

2、( 1+x) n

=________________________________________________；

n二、杨辉三角的来历及规律

练一练：把( a+b)

（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：

(a+b)1

…………………………………………………1

1

(a+b)2…………………………………………………1

2

1 (a+b)3………………………………………………1

3

3

1 (a+b)4……………………………………………1

4

6

4

1

(a+b)5…………………………………………1

5

10 10 5

1

(a+b)6………………………………………1

6

15 20 15 6

1

……………………………

爱国教育，杨辉三角 因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？

蕴含规律：1、同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；

2、相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。

r1r3、设表中任一不为1的数为Crn1，那么它肩上的两个数分别为Cn及Cn，即r1rCrn1= Cn+Cn，

7

对于( a+b)展开式的二项式系数Cn，Cn，Cn，…，Cn，从函数角度看，Cn可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= rrCn

n012n，定义域为{0，1，2，…，n} 画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

三、二项式系数的重要性质

1、对称性：

二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即mnmCn=Cn

练习：求(a+b)6的展开式中的倒数第3项的二项式系数。

答案：15. 2、增减性与最大值

由于

kCnn(n1)(n2)（nk1）(k1)！kk1Cn(nk1)kk1n

所以Ckn相对于C增减情况由(nk1)k决定，由(nk1)k>1n1n1k

可知，当k时，二项22n2n式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

当n是偶数时，中间的一项C当n是奇数时，中间的两项C取得最大值；

和Cn12nn12n相等，且同时取得最大值。

练习：(1)、在（a+b）10的展开式中，系数最大的项是（

）

（A）第6项

(B) 第7项

(C) 第6项和第7项

(D) 第5项和第7项

(2)、在（a—b）10的展开式中，系数最大的项是（

）

（A）第6项

(B) 第7项

(C) 第6项和第7项

(D) 第5项和第7项

(3)、在（a+b）11的展开式中，系数最大的项是（

）

（A）第6项

(B) 第7项

(C) 第6项和第7项

(D) 第5项和第7项

(4)、在（a—b）11的展开式中，系数最大的项是（

）

（A）第6项

(B) 第7项

(C) 第6项和第7项

(D) 第5项和第7项

答案：（1）A

（2）D

（3）C

（4）B

8

3、各项二项式系数的和

( 1+x)

n

=Cn+Cnx+Cnx2+…+Cnxr+…+Cnxn,012rn

012nC+Cn+Cn+…+Cn=？n思考：

由于x为任意实数，上式中令x=1，则得：2n=Cn+Cn+Cn+…+Cn

012n也就是说，( a+b) n的展开式中的各个二项式系数的和为2n

说明：这种方法是赋值法，是解决二项展开系数有关问题的重要手段。

四、典型例题（性质4）

试证：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

分析：奇数项的二项式系数的和为Cn+Cn+Cn+…，

偶数项的二项式系数的和为Cn+Cn+135Cn+…，

0240n1n-1kn-kknn由于(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb中的a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b适当赋值来得到上述两个系数和。

0n1n-1kn-kknn证明：在展开式(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb中，

令a=1,b=—1，则得（1—1）n=Cn—Cn+Cn—Cn+（—1）即

0=（Cn+Cn+…）—（Cn+Cn+…），

所以，

0213Cn+Cn+…=Cn+Cn+…

，

02130123nnCn, 即在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

说明：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，这并不意味着等号两边的个数相同，当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同。

五、当堂检测

1、已知C15=a，C15=b，那么C16=__________；

2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是____________；

3、C11+C11+…+C11=________；

012nCnCnCnCn4、0__________；

12n1Cn1Cn1Cn1Cn1591013115、证明：Cn+Cn+Cn+…+

024nCn=2n-1

(n是偶数) ；

n2n答案：1、a+b

2、当n是偶数时，最大值是C；当n是奇数时，Cn12n和Cn12n

9

相等且最大。

3、1024

4、12

六、课堂小结

1.二项式系数的性质:①对称性;②增减性与最大值;③各二项式系数的和。

2.数学思想：函数思想

3.数学方法

：

赋值法

、递推法、图象法. 七、布置作业

课本43页习题1.3 A组 8. 选做题：B组 2.

10

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

课前预习学案

一、预习目标

借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。

二、预习内容

1、二项式定理：________________________________________________；

二项式系数：______________________________________________；

2、( 1+x) n

=________________________________________________；

n练一练：把( a+b)

（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格。

想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？

画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

一、学习目标

①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；

②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；

二、学习重难点：

学习重点：二项式系数的性质及其应用；

学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

三、学习过程

（一）、杨辉三角的来历及规律

问题1：根据( a+b)

n疑惑内容

（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？

问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？

对于( a+b)展开式的二项式系数Cn，Cn，Cn，…，Cn，从函数角度看，Cn可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= 定义域为{0，1，2，…，n}

问题3：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

（二）二项式系数的重要性质

11 rrCn

n012n，

1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即mnmCn=Cn

分析：

2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。

提示：（1）讨论Cn与Cn

（2）讨论kk1的大小关系。

(nk1)k n与1的大小关系。

3、各项二项式系数的和：( a+b)的展开式中的各个二项式系数的和为2n

分析：赋值法的应用。

四、典型例题（性质4）

试证：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

分析：奇数项的二项式系数的和为Cn+Cn+Cn+…，

偶数项的二项式系数的和为Cn+Cn+Cn+…，

0n1n-1kn-kknn由于(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb中的a,b可以取任意实数，因此024135我们可以通过对a,b适当赋值来得到上述两个系数和。

五、当堂检测

1、已知C15=a，C15=b，那么C16=__________；

2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是____________；

3、C11+C11+…+C11=________；

012nCnCnCnCn4、0__________；

12n1Cn1Cn1Cn1Cn1591013115、证明：Cn+Cn+Cn+…+

024nCn=2n-1

(n是偶数) ；

n2n答案：1、a+b

2、当n是偶数时，最大值是C相等且最大。

3、1024

4、；当n是奇数时，Cn12n和Cn12n12

课后练习与提高

1、在（a+b）20的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（

）

（A）第15项

(B) 第16项

(C) 第17项

(D) 第18项

2、（1—x）13的展开式中系数最小的项是（

）

（A）第6项

(B) 第7项

(C) 第8项

(D) 第9项

3若C19与Cn同时取得最大值，则m=_____________

nm

12

4、已知（1—2x）=a0+a1x+a2x+…+a7x则a1+a2+…+a7=___________ 727 a1+a3+ a5+a7=__________ a0+a2+ a4+a6=__________ 15、已知(2x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最4大的项的系数．

13