复习参考题优秀教案内容

教学设计

3.1.2

不等关系与不等式（二）

教学重点

1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；

2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；

3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.[来源:Z_xx_k.Com]

教学难点

1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；

2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.

三维目标

一、知识与技能

1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;

2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;

3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式. 二、过程与方法

1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学; 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣. 三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.

教学过程

导入新课

上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解. 我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？

一般地说，不等式的基本性质有三条：

性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）

性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）

性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答）

［过程引导］

师

不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）性质1：a＜ba+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞ba+c＞b+c（或a-c＞b-c）.

abab).

ccccabab性质3：a＜b且c＜0ac＞bc(或＞)；a＞b且c＜0ac＜bc(或＜).

cccc性质2：a＜b且c＞0ac＜bc(或＜)；a＞b且c＞0ac＞bc(或＞（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）

对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.

［教师精讲］

若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞ba-b＞0.它的逆命题是否正确？

类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,

a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0.

这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.

［合作探究］

【问题1】

已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.

（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识) 【例1】

比较下列各组数的大小（a≠b）.

(1)ab2与

(a＞0,b＞0);

（2）a4－b4与4a3（a－b）.

112ab

比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.

ab2ab2ab(ab)24ab(ab)2解：（1），

1122ab2(ab)2(ab)ab∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0.

(ab)2ab2＞0,即＞∴.

112(ab)2ab（2）a4-b4-4a3(a-b)

=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)

=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)

=-(a-b)2［2a2+(a+b)2］,

∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),

又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0.

∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.

∴a4-b4＜4a3(a-b).

证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. ［合作探究］

【问题2】

求证：（1）a＞b且c＞0ac＞bc；

（2）a＞ba+c＞b+c.

请同学们思考该如何证明？其他的证明思路吗？[来源学科网ZXXK]

（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）

［例题剖析］

已知a＞b＞0,c＜0，求证：＞.

前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？

课堂小结

常用的不等式的基本性质及证明：

（1）a＞b,b＞c a＞c;

a＞b,b＞c a-b＞0,b-c＞0

(a-b)+(b-c)＞0a-c＞0（2）a＞ba+c＞b+c;

a＞ba-b＞0

(a-b)+(c-c)＞0

(a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c.

（3）a＞b,c＞0ac＞bc;

a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0

(a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc.

（4）a＞b,c＜0ac＜bc.

a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0

(a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc. 布置作业

板书设计

不等关系与不等式（二）

引入

方法引导

方法归纳不等式和实数的基本性质

实例剖析（知识方法应用）

小结

示范解题

[来源学#科#网]cacba＞c.