小结公开课教案

一元二次不等式的应用

高一数学必修5

编制人：关丹红

班级___ 组别___ 姓名___ ___ 学习目标：（1）掌握简单的含参一元二次不等式问题（2）不等式的恒成立问题

数学思想方法：分类讨论、数形结合

一、课前热身

1、已知a1，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为

。

解题过程：

2、已知a0，不等式x2ax2a20的解集是

。

解题过程：

3、解一元二次不等式的一般步骤：

①

变形使二次项系数为 ；

②

求相应方程的 或 ；

③

结合相应的二次函数图像写解集。

特别的：相应方程有2个根时不等式的解集规律：0(0)的解集是两根之 ；0(0)的解集是两根之 。二、自主探究

要点1——含参数的一元二次不等式的解法

【例1】解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0

解：令x2(a1)xa0，解得x11，x2a

原不等式可化为(x1)(xa)0

①

当a

1时，不等式的解集为

；

②

当a

1时，不等式的解集为

；

③

当a

1时，不等式的解集为

。

【变式训练1】解关于x的不等式x2ax0

1

研讨1：为什么要对a进行分类讨论？

答：

。

研讨2：分类讨论时为什么要分3类情况呢？答：

。

【例2】

解关于x的不等式xax2a0

解：令xax2a0，解得x1

，x2

。

原不等式可化为

（1）当2a

a，即

时，不等式的解集为

；

（2）当2a

a，即

时，不等式的解集为

；

（3）当2a

a，即

时，不等式的解集为

。

【变式训练2】解关于x的不等式x22a3x6a0

解题方法步骤小结——

2222要点2——不等式恒成立的问题

2【例3】关于x的一元二次不等式axbxc0

的解集是全体实数的条件是(

) a>0a>0a<0a<0A.

B.

C.

D.

Δ>0Δ<0Δ>0Δ<0

方法小结：

【变式训练3】

（1）关于x的一元二次不等式axbxc0的解集是全体实数的条件是

。

（2）关于x的一元二次不等式axbxc0的解集是全体实数的条件是

。

（3）关于x的一元二次不等式axbxc0的解集是全体实数的条件是

。

2

222

【例4】不等式xmx10对一切实数x都成立，求实数m的取值范围。 解：由题意得：

【例5】不等式mxmx10对一切实数x都成立，求实数m的取值范围。 解：①

当

时，原不等式为：

，

；

②

当

时，则有：

，解得

。

综上可知，m的取值范围是：

。

【变式训练5】若关于x的不等式ax(2a1)xa20对任意xR恒成立，求a的取值范围．

222三、课堂小结

【课外提升1】解关于x的不等式xa0

【课外提升2】解关于x的不等式ax(a1)x10

3

22

三、课后作业

1、解关于x的不等式63x2－2mx

2、当x∈R时，不等式x2＋mx＋m2>0恒成立的条件是(

) A．m>2

B．m<2

C．m<0或m>2

D．0

4、已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(

) A．－4≤a≤4

B．－4

D．a<－4或a>4

5、不等式x22ax10对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

6、当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解是全体实数？

学习笔记

1．易错总结：做错的题目有

错因：

______________________________________________________________ 2．心得感悟：

_______________________________________________________

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一元二次不等式的应用

高一数学必修5

编制人：关丹红

班级___ 组别___ 姓名___ ___ 学习目标：（1）掌握简单的含参一元二次不等式问题（2）不等式的恒成立问题

数学思想方法：分类讨论、数形结合

一、课前热身

xa

}

。

1、已知a1，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为

{x|1解题过程：

2、已知a0，不等式xax2a0的解集是

{x|x2a或

}

。

,xa解题过程：

3、解一元二次不等式的一般步骤：

①

变形使二次项系数为 正 ；

②

求相应方程的 根 或 判别式 ；

③

结合相应的二次函数图像写解集。

特别的：相应方程有2个根时不等式的解集规律：0(0)的解集是两根之 外 ；

220(0)的解集是两根之 内 。

二、自主探究

要点1——含参数的一元二次不等式的解法

【例1】解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0

解：令x(a1)xa0，解得x11，x2a

原不等式可化为(x1)(xa)0

④

当a

1时，不等式的解集为

；

⑤

当a

1时，不等式的解集为

；

⑥

当a

1时，不等式的解集为

。

【变式训练1】解关于x的不等式xax0

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研讨1：为什么要对a进行分类讨论？

答：

因为要比较两个根的大小

。

研讨2：分类讨论时为什么要分3类情况呢？答：

因为两个数的大小有3种情况

。

【例2】

解关于x的不等式xax2a0

解：令xax2a0，解得x1

，x2

。

原不等式可化为

（1）当2a

＞

a，即

a0

时，不等式的解集为

；

（2）当2a

a，即

时，不等式的解集为

；

（3）当2a

a，即

时，不等式的解集为

。

【变式训练2】解关于x的不等式x22a3x6a0

解题方法步骤小结——

2222要点2——不等式恒成立的问题

2【例3】关于x的一元二次不等式axbxc0

的解集是全体实数的条件是(

) a>0a>0a<0a<0A.

B.

C.

D.

Δ>0Δ<0Δ>0Δ<0

方法小结：

【变式训练3】

（1）关于x的一元二次不等式axbxc0的解集是全体实数的条件是

。

（2）关于x的一元二次不等式axbxc0的解集是全体实数的条件是

。

（3）关于x的一元二次不等式axbxc0的解集是全体实数的条件是

。

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222

【例4】不等式xmx10对一切实数x都成立，求实数m的取值范围。 解：由题意得：

【例5】不等式mxmx10对一切实数x都成立，求实数m的取值范围。 解：①

当

时，原不等式为：

，

；

②

当

时，则有：

，解得

。

综上可知，m的取值范围是：

。

【变式训练5】若关于x的不等式ax(2a1)xa20对任意xR恒成立，求a的取值范围．

222三、课堂小结

【课外提升1】解关于x的不等式xa0

【课外提升2】解关于x的不等式ax(a1)x10

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三、课后作业

1、解关于x的不等式63x2－2mx

2、当x∈R时，不等式x2＋mx＋m2>0恒成立的条件是(

) A．m>2

B．m<2

C．m<0或m>2

D．0

4、已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(

) A．－4≤a≤4

B．－4

D．a<－4或a>4

5、不等式x22ax10对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

6、当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解是全体实数？

学习笔记

1．易错总结：做错的题目有

错因：

___________________________ ___________________________________ 2．心得感悟：

____________________ ___________________________________

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