1.3 实习作业优秀教学设计

第六节

正弦定理和余弦定理

一、考情分析

1.考纲要求

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

2.考点频率

5年23考

3.命题趋势

正、余弦定理是解三角形的主要工具．高考中主要考查用其求三角形中的边和角及实施边、角之间的转化．

二、基础知识梳理

1.正弦定理和余弦定理

abc2R（其中R为三角形的外接圆半径）

sinAsinBsinCa2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC2.变形形式

a2RsinA

b2RsinB

c2RsinC

A

sinabcB

sin

sinC

2R2R2Rb2c2a2a2c2b2a2b2c2

cosA

cosB

cosC

2bc2ac2ab3.三角形中常用的面积公式

1(1)S＝ah(h表示边a上的高)2；

111(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；

2224.应用提示

(1)三角形内角和定理

A＋BπC△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 222(2)三角形中的三角函数关系

A＋BA＋BCCsin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；sin＝cos；

cos＝sin. 2222(3)辨明两个易误点

a.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要求分类讨论．

b.在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

三、考点疑难突破

1．利用正、余弦定理解三角形

3π例.在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．

4【解】

设△ABC的内角∠BAC，∠B，∠C所对边的长分别是a，b，c，

由余弦定理得

3πa2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，

4所以a＝310. bsin∠BAC310又由正弦定理得sinB＝＝＝，

a31010π由题设知0

413101－＝. 1010故△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，

故由正弦定理得AD＝【类题通法】

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 2.AB·sinB6sinB3＝＝＝10. sinπ－2B2sinBcosBcosB

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

例.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断△ABC的形状．

【解】

解法一：由正弦定理和已知条件得

sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinBsinCcosBcosC. ∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0. ∵∠B，∠C为△ABC的内角，∴∠B＋∠C＝90°，∠A＝90°. 故△ABC为直角三角形．

解法二：原等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC. 即b2＋c2－b2cos2C－c2cos2B＝2bccosBcosC，由余弦定理得

a＋c－ba＋b－ca＋b－c2－c2·a＋c－b2＝2bc·b＋c－b··

2ac2ab2ab2ac222222222222222[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2化简可得b＋c＝

4a222即得b2＋c2＝a2，故△ABC为直角三角形．

【类题通法】

判定三角形形状的2种常用途径

3.

与三角形面积有关的问题

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

△ABC的内角A，B，C的对分别为a，b，c.已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2. 2π【解】

(1)由sinA＋3cosA＝0得tanA＝－3，∵A∈(0，π)，∴A＝. 31∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝27，b＝2，cosA＝－，

2∴(c＋1)2＝25，解得c＝4. a2＋b2－c227(2)∵AC＝2，BC＝27，AB＝4，∴cosC＝＝. 2ab7∵AC⊥AD，∴△ACD为直角三角形，AC＝CD·cosC，得CD＝7. ∴AD＝

|CD|2－|AC|2＝

3. 2π2πππ又∠BAC＝，则∠DAB＝－＝，

33261π11S△ABD＝|AD|·|AB|·sin＝×4×3×＝3. 2622【类题通法】

三角形面积公式的应用原则

111(1)对于面积公式S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 四、自主演练

1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB. (1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若判断△ABC的形状。

33．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. 7(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．

五、完成课时跟踪检测

sinAa＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，sinBc