阅读与思考 海伦和秦九韶教学实录及点评

1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）

（人教A版高中课标教材数学必修5）

教学设计

一、教学内容解析：

本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第二课时，测量底部不可到达的建筑物高度问题.在第一课时学生学习了应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.本节课是解三角形应用举例的延伸，继续探究底部不可到达的建筑物等的高度测量问题.

解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力.

本节课的教学重点：

1.通过对实地测量任务的交流展示，体会数学建模过程；

2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法；

3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题. 二、教学目标解析：

（一）教学目标：

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1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；

2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关底部不可到达的建筑物高度测量的问题；

3.操作简单的测量工具测量仰角、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；

4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；

5.创设问题情境、组织讨论交流提高学生参与学习的热情，通过小组合作学习方式，培养学生的合作意识和合作学习的能力，发展学生的创新意识和实践能力. （二）目标解析：

1.高中数学学科素养包含数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学运算、数据分析和数学建模六个方面，本节课重点培养学生的数学建模素养．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本节课从实际背景出发，让学生亲自经历提出问题、建构模型、应用数学知识运算得到数学结果，反复检验得到符合实际的结果这样一个数学建模过程，培养学生数学建模素养；

2.本节的例题是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，常常需要建构多个三角形，用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要通过对工具的使用熟悉仰角、俯角的意义，二是要会选点构建三角形模型，在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题；

3.用数学是学数学的出发点和归宿，通过设计操作实验，让学生体验数学在解决问题中的应用价值；

4.将探究问题与解三角形运算相结合，引导学生既要关注实际背景，又要重视基础落实，同时创造更多的实践机会在“做数学”中落实基础；

5.通过小组合作的方式完成测量任务，在课上以小组汇报的形式展示实验报告，以小组为单位进行讨论交流，培养学生合作学习的能力.

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三、学情分析：

1.学生学习背景：

我校属于区属市重点学校，学生知识基础较好，学校有丰富的社团活动，学生有小组活动经验，具有一定的动手能力和表达能力. 2.学生知识储备：

学生在初中已经学习过解直角三角形，能够通过建立直角三角形模型解决实际问题中的长度和角度的测量，在必修一中学生已经学习过数学建模的知识，了解建模的基本过程.在本章第一节学生学习了正弦定理和余弦定理，这些知识都将为本节课的学习奠定基础，在此基础上进一步向探究构建多个三角形的问题自然过渡. 在研究中学生无法构建数学模型，或者是没有从所给的背景资料中正确的提取出数学信息也将成为本节课学习的障碍，在完成测量任务的过程中依靠实际生活背景，指导学生应用简单的测量工具，帮助学生理解数学概念，借助课本例题引导学生应用于实际问题.坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．

教学难点：从不同设计方案中概括数学建模的一般方法. 四、教学策略分析：

本节课以数学实验为抓手，以问题探究为载体，为学生提供动手操做、动脑思考和主动交流的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在学生体验测量过程的基础上，通过学生动手实践、动手画图等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.通过小组交流，互相取长补短，提高合作意识. 五、教学过程：

（一）课前准备，体验数学建模过程：

课本例题3的学习引发学生的探究热情，教师从学生的兴趣出发布置测量任务，即让学生利用自制测角仪和卷尺等工具测量天津市地标建筑——天塔的高度，天塔周围被水环绕，属于典型的底部不可到达的建筑物.采用分组合作的方式，将学生分为三组，分别设计方案，进行实地测量，并完成实验报告.教师在测量过程中指导学

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生使用工具，并纠正操作中的错误，引导学生对遇到的实际问题进行思考，主动寻找解决方案，帮助学生完善实验报告（见附件）. 【设计意图】

1.亲自实践体验测量的过程，思考如何设计测量方法，在探索中体会数学抽象和数学建模；

2.动手操作工具，直观感知，增强对数学概念的理解，如仰角、基线、张角；

3.小组合作完成任务，提高学生的合作意识和合作能力，在完成任务的过程中依据学生的能力分配任务，使学生更乐于参与数学研究学习，有利于激发学生的学习兴趣；

4.选择学生熟悉的生活场景展开问题，课堂中使用的很多数据都来源于学生的亲自采集，使数学学习更贴近生活.

（二）情境引入，感受生活中的数学：

【创设情境】播放视频介绍测量目标“天塔”的基本情况，明确建筑物的显著特征——底部不可到达，其次介绍测量前期的准备工作，包括使用的基本工具，任务完成时间和实验报告表格. 【设计意图】从学生熟悉的生活背景引入，激发学生的探究兴趣，体会数学学习的应用价值. （三）学生任务展示：

【学生活动】三个小组分别选择一种方案进行交流，介绍方案设计、测量的过程、计算的结果和对结果的反思，展示实验报告（见附件）和设计图. 【学生活动】第一组方案介绍.

设计思路源自课本例题，即在地面选择与塔底在一条基线上的两点M、E，用测角仪分别测量两点到塔顶A点处的仰角，设M处仰角∠AMB＝α，E处仰角∠AEB＝β，

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用卷尺测量EM＝a

该设计方案提供两种解法，

解法一，解两个直角三角形. ABABABABBM，BE，BEBMa，代入数值可得出天塔ABtantantantan的高度. 解法二，解直角三角形和斜三角形. ∠MAE＝α－β，由正弦定理可得MEAMa，解得AMsin，sin()sinsin()ABAMsin，代入数据可得出天塔AB的高度.同理由正弦定理计算AE也可以计算出结果. 进行误差分析：1.无法精准定位E、M点与塔底在一条基线上；2.卷尺量程过短，需要分段测量. 【教师活动】概括测量过程，引导学生体会“设计方案，发现问题——选点构建三角形模型——解三角形——检验结果”这样的建模过程. 【学生活动】第二组方案介绍.

选择地面两个点M、E，但与塔底B不在一条基线上，用测角仪分别测量两点到塔顶A点处的仰角，设M处仰角∠AMB＝α，E处仰角∠AEB＝β，测量EM＝a，但需增加测量点M、E与塔底的张角∠MBE，学生提供测张角的APP软件可以实现测量，

设∠MBE＝θ.

计算，EBABAB，MB，由余弦定理可得

tantanEM2EB2MB22EBBMcos，代入数值可解出塔的高度AB.

误差分析：1.地势高低不平；2.无法精准定位塔底B点，张角的测量会产生误差.

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【教师活动】总结测量过程，引导学生再次体会“设计方案，发现问题——选点构建三角形模型——解三角形——检验结果”的建模过程. 【学生活动】第三组方案介绍.

选择一处较低的建筑物，用测角仪从上方M点处和下方E点处分别测量到塔顶的仰角，设M处仰角为β，E处仰角∠AEB＝α，测量EM＝a.

计算

∠AME＝90°＋β，∠EAM＝α－β，

由正弦定理可得

解得

AEasin()EMAEaAE，即，

sinEAMsinAMEsin()sin(90)sin(90)，ABAEsin，代入数值可解出塔的高度AB.

分析误差：塔高不能用卷尺一次性测量，需分层测量再相加.

【教师活动】对每组讲解中出现的问题随时纠正，在一旁协助学生完成交流活动，结合测量过程引导学生进一步体会数学建模的思想，逐步形成数学建模的一般过程.

【设计意图】

1.

通过让学生讲述操作过程，增强学生对知识的理解；

2.

提高学生的数学表达能力；

3.

通过小组合作和交流，促进学生的数学学习. （四）讨论交流：

【教师活动】结合三个方案引导学生归纳1.如何选点建构三角形；2.应用哪些知识解三角形；3.造成误差的原因和减小误差的方式.

【学生活动】

归纳1.选择塔顶与地面两个可到达点建构三角形；

归纳2.解直角三角形和应用正弦定理、余弦定理解斜三角形；

归纳3.减小误差方法有使用精准的仪器、多次测量取平均值等.

【设计意图】反思方案，体会建模思想，提升建模方法.

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【教师活动】布置讨论任务1.听完三组的方案，谈谈自己的想法；2.总结数学建模的过程.

【学生活动】充分讨论后发言

1.小组互评：各小组成员自由发言，对其他组的方案进行评价；

2.学生现场产生更多的方案，预设如图

在第三组方案的基础上，用测角仪从M点处分别测量到塔顶的仰角β和到塔底的俯角α，测量EM＝a，应用解三角形的知识可解出塔的高度AB. 3.结合测量过程学生总结数学建模过程：

（五）多元评价，实现自我提升：

1.小组自评：经历整个测量任务和现场的展示之后，由各组组长对本组的表现进行自我评价；

2.教师评价：结合整个建模活动，从小组合作、方案设计、参与程度、数据分析等方面进行总结和点评. 【设计意图】采用多元评价方式，通过自我评价引导学生反思和总结；通过小组互评引导学生善于发现别人的优秀之处，进一步完善自我；教师的点评更要充分肯定每一位积极参与的同学，从方案的创新性、合理性和有效性进行评价，关注数据的真实

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和整理过程的认真、细心，同时也要提出改进和完善的方法，帮助学生进一步提升. （六）课后作业：

整理实验报告，总结经验与不足.

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