1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学目标

§1.1回归分析的基本思想及其初步应用

y与x的关系ybxae中，e称为 ； 目的：

了解回归的基本思想、方法及其简单应用

重点：

1、了解回归模型与函数模型在区别

2、了解模型拟合效果的分析工具：

残差分析与R2

难点：

1、解释、分析残差变量

2、理解R2的含义

过程：

一、自学导读（阅读课本P1—8 完成填空）

1、温故知新：《必修3》知识回顾

（1）函数关系与相关关系有什么区别？

（2）什么是线性相关关系、正相关、负相关？

（3）什么是回归直线？ ；其方程为： （4）求回归直线的方法叫做最小二乘法。即：

对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn), aˆ

_________， bˆ

_______ ___。

（5）回归直线方程ybˆxaˆ经过

样本点的中心(

x,y

)

2、线性回归模型：

ybxa是确定性函数，在线性回归模型中，我们把自变量x称为___ _，因变量y称为________ _________。

3、回归分析的基本思想：

（1）残差分析：

数据点和它在回归直线上相应位置的差异yiyi是随机误差的效应，eˆi称___ _ __ n残差；(y)2iyi称为_______ _ ______，i1它代表 的效应。

n(yiyˆi)2(2)相关指数 R21i1n，

(yiy)2i1我们用相关指数来刻画回归的效果。相关指数越大（越接近1），说明模型的拟合效果越好。

即R2取值越大，意味着残差平方和越小，模型的拟合效果越好，即R2越接近于1，表示回归效果越好。

4、用解释变量（x）对预报变量（y）进行预报时，需要注意下列问题：

（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的 。

（2）我们所建立的回归方程一般都有 性。

（3）样本取值的范围会影响回归方程的 。

（4）不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的 值。事实上，它是预报变量的可能取值的 值。

5、建立回归模型的基本步骤：

1

（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量。

（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系。

（3）由经验确定回归方程的类型。

（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。

（5）得出结果后分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。

二、常见题型

[题型一 求回归直线方程] 【例1】某商店统计了最近6个月某商品的进价X与售价Y（单位：元）的对应数据如下：

X 3 5 2 8 9 12 Y 4 6 3 9 12 14

则x

，y

，

66x2i＝

，i1xiyi＝

i1回归方程为

（回归方程为yˆbˆxaˆ，

nˆxiyinxyb＝i1n,aˆ=ybˆx）

x2inx2i1

［归纳］ [变式]

2 A1、某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

X 2 4 5 6 8 Y 30 40 60 50 70 （1）画出散点图，试求回归直线方程；

（2）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？

[题型二 残差与相关指数的计算与应用意义] 【例2】两变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）

A、模型1的相关指数R2为0.98 B、模型2的相关指数R2为0.80 C、模型3的相关指数R2为0.50 D、模型4的相关指数R2为0.25

［归纳］

[变式]

A2、（

课本P8 ）

用R2

来比较模型（2）与（3）的拟合效果：

已知R2.98,R22030.80

试比较哪种模型的拟合效果好？

A3、（课本P8）练习1、2、3

三、课堂小结

1、内容：

2、题型：

四、巩固练习

1、长方形的面积一定时，长和宽具有( ) A、不确定性关系 B、相关关系 C、函数关系 D、无任何关系

2、线性回归方程yˆbˆxaˆ必过点（

）

A、（0，0）

B、（x,0）

C、（0,y）

D、（x,y）

3、设有一个回归方程yˆ22.5x，变量x增加一个单位时，变量yˆ（

）

A、平均增加2.5个单位

B、平均增加2个单位

C、平均减少2.5个单位

D、平均减少2个单位

4、回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（

）

A、越小

B、越大

C、可能大也可能小

D、以上都不对

5、

在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R2______________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多

6、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据

x 3 4 5 6 Y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出线性回归方程；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤。试根据(2)求出的线性回归方程，预测甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤。

7、（课本P9）

习题1（1）（2）（3）（4）

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