1.3 二项式定理（通用）教案推荐

二项式定理

导学目标：

1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

自主梳理

1．二项式定理的有关概念

n1n－11n－kknn(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb

(n∈N*)，这个公式na＋Cnana叫做______________．

①二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．

②项数：二项展开式中共有________项．

③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k＝______________)叫做二项式系数．

④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝____________________. 2．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．

(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．

偶012n24(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝______，C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝________，奇135Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝________. 自我检测

1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(

) A．80

B．40

C．20

D．10 －x6x2．(2011·陕西)(4－2)(x∈R)展开式中的常数项是(

) A．－20

B．－15

C．15

D．20 3．(x－2y)10的展开式中x6y4项的系数是(

) A．840

B．－840

C．210

D．－210 2－164．(2010·四川)3的展开式中的第四项是______．

xa5．(2011·山东)若(x－2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．

x1x2－n的展开式中第4项的二项式系数最大，6．(2011·烟台期末)已知n为正偶数，且2x则第4项的系数是__________．(用数字作答)

探究点一

二项展开式及通项公式的应用

31n的展开式中，第6项为常数项．

x－例1

已知在32x(1)求n；(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

4变式迁移1

(2010·湖北)在(x＋3y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．

探究点二

二项式系数的性质及其应用

－23n例2

(1)求证：C12n1；

n＋2Cn＋3Cn＋…＋nCn＝n·227(2)求S＝C127＋C27＋…＋C27除以9的余数．

42k2n变式迁移2

(2011·上海卢湾区质量调研)求C22n＋C2n＋…＋C2n＋…＋C2n的值．

探究点三

求系数最大项

3例3

已知f(x)＝(x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

变式迁移3

(1)在(x＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于(

) A．13,14

B．14,15 C．12,13

D．11,12,13 1＋2xn，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，(2)已知2求展开式中二项式系数的最大项的系数；

(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a＋bx) (a，b∈R)的展开式中，第r＋1项的二rn－rr项式系数是Crb. n，而第r＋1项的系数为Cna2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或n－rr系数．在运用公式时要注意：Crb是第r＋1项，而不是第r项．

nan1nn3．在(a＋b)的展开式中，令a＝b＝1，得C0n＋Cn＋…＋Cn＝2；令a＝1，b＝－1，得012324135n－1Cn－Cn＋Cn－Cn＋…＝0，∴C0，这种由一般到n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2特殊的方法是“赋值法”．

4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式n1n－12n－2rn－r系数相等，即C0n＝Cn，Cn＝Cn，Cn＝Cn，…，Cn＝Cn.(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．

5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．

n

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

x＋1241．(2011·山东实验中学模拟)在3的展开式中，x的幂指数是整数的项共有x(

) A．3项

B．4项

C．5项

D．6项

n2．(2011·重庆)(1＋3x)(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于(

) A．6

B．7 C．8

D．9 x－1n3．(2011·黄山期末)在23的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式x中常数项是(

) A．－7

B．7

C．－28

D．28 3x－1n4．(2010·烟台高三一模)如果32的展开式中二项式系数之和为128，则展开式x

1中3的系数是(

) xA．7

B．－7

C．21

D．－21 56785．在(1－x)＋(1－x)＋(1－x)＋(1－x)的展开式中，含x3的项的系数是(

) A．74

B．121

C．－74

D．－121 二、填空题(每小题4分，共12分) 1186．(2011·湖北)(x－)的展开式中含x15的项的系数为__________．(结果用数值表示) 3x1x－6的展开式中的常数项为7．(2011·济南高三模拟)已知a＝π(sin t＋cos t)dt，则ax0________．

11＋x＋210的展开式中的常数项是________．

8.x三、解答题(共38分) 9．(12分)(1)设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4. ①求a0＋a1＋a2＋a3＋a4；

②求a0＋a2＋a4；

③求a1＋a2＋a3＋a4；

＋(2)求证：32n2－8n－9能被64整除(n∈N*)．

11＋n<3. 10．(12分)利用二项式定理证明对一切n∈N*，都有2≤n

2x－2n (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的11．(14分)(2011·泰安模拟)已知x系数的比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含x的项；

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

32

学案65

二项式定理

自主梳理

kn－kk1．(1)二项式定理

②n＋1

③Ckb

n

0,1,2，…，n

④Cnan－kkCkb

2.(1)等距离

nann－1n－1(2)Cn

Cnn2n+12

Cnn-12

(3)2

2

2

自我检测

rrrr2221．B

[(1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝CrC5＝5(2x)＝2C5x，令r＝2，得x的系数为2·40.] 2．C

[设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝Cr(4x)r·(－2x)6r，即Tr＋1＝Cr(－1)66·6·－r－－－·22rx·2rx6x＝Cr(－1)6r·23rx6x，∴3rx－6x＝0恒成立．∴r＝2，∴T3＝C2(－1)4＝15.∴选6·6·C.] 3．A 1604．－

x5．4 a－6－r6－3r解析

(x－2)6展开式的通项为Tr＋1＝Cr(－1)r·(a)r·x2r＝Cr(－1)r·(a)r. 6x6xx2令6－3r＝0，得r＝2.故C6(a)2＝60，解得a＝4. 56．－

2课堂活动区

n－rr例1

解题导引

(1)通项Tr＋1＝Crb是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，而不是第rna项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指Crn，r＝0,1,2，…，n，与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．

(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．

n-rr-1rr3解

(1)通项公式为Tr＋1＝Cnx3－2x

－－＝Crn－1rx2n-2r3，

n－2r因为第6项为常数项，所以r＝5时，有＝0，

3即n＝10. n－2r11(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，

322

1245. ∴所求的系数为C210－2＝410－2r3∈Z，(3)根据通项公式，由题意得0≤r≤10，r∈N.令

10－2r＝k (k∈Z)，则10－2r＝3k，

33即r＝5－k，∵r∈N，∴k应为偶数．

2∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8. 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为

12－15，C8－18x－2. －2x2，C5C101010222变式迁移1

6 4－解析

展开式的通项Tr＋1＝Crx20r·(3y)r

20·r由0≤r≤20，∈Z得r＝0,4,8,12,16,20. 4所以系数为有理数的项共有6项．

nn＋1k例2

解题导引

(1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C0n＝Cn＝Cn＋1，Cn＝－kkk－1Cnn，kCn＝nCn－1等式子的变形技巧；

(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f(x)、除式g(x)[g(x)≠0]、商式q(x)与余式的关系及余式的范围．

－123n(1)证明

方法一

设S＝C1Cnn＋2Cn＋3Cn＋…＋(n－1)·n＋nCn，①

n－1n－221∴S＝nCnn＋(n－1)Cn＋(n－2)Cn＋…＋2Cn＋Cn

12n－2n－1＝nC0n＋(n－1)Cn＋(n－2)Cn＋…＋2Cn＋Cn，②

12n－1n①＋②得2S＝n(C02n. n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋Cn)＝n·－∴S＝n·2n1.原式得证．

n！kk方法二

∵Ck＝·

nnnk！n－k！n－1！－1＝＝Ckn－1，

k－1！n－k！k－1∴kCkn＝nCn－1. 1n－1∴左边＝nC0n－1＋nCn－1＋…＋nCn－1

－1n－1＝n(C02n1＝右边．

n－1＋Cn－1＋…＋Cn－1)＝n·22727(2)解

S＝C127＋C27＋…＋C27＝2－1 ＝89－1＝(9－1)9－1 91889＝C09×9－C9×9＋…＋C9×9－C9－1 8178＝9(C09×9－C9×9＋…＋C9)－2 8178＝9(C09×9－C9×9＋…＋C9－1)＋7，

显然上式括号内的数是正整数．

故S被9除的余数为7. 122332n2n变式迁移2

解

(1＋x)2n＝C02n＋C2nx＋C2nx＋C2nx＋…＋C2nx. 12n－12n2n令x＝1得C02n＋C2n＋…＋C2n＋C2n＝2；

12rr2n－12n再令x＝－1得C02n－C2n＋C2n－…＋(－1)C2n＋…－C2n＋C2n＝0. 两式相加，再用C02n＝1，

2n－242n2得C2n＋C2n＋…＋C2n＝－1＝22n1－1. 2rr20－rr＝C20·x·y·43.

n例3

解题导引

(1)求二项式系数最大的项：如果n是偶数，则中间一项[第2＋1项]n＋1n＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项[第项与第22＋1项]的二项式系数相等且最大；

(2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用Ar≥Ar－1解出r来，即得系数最大的项．

Ar≥Ar＋1解

(1)令x＝1，则二项式各项系数的和为

f(1)＝(1＋3)n＝4n，

又展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，

∴2n＝－31(舍)，或2n＝32，∴n＝5. 由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是

骣2琪x3琪桫骣2琪x3T4＝C35琪桫T3＝C253(3x2)2＝90x6，

(3x2)3＝270x. 2(5+2r)rrTr＋1＝C53·3．

rrr－1r－13，C53≥C5·2232(2)展开式的通项公式为x假设Tr＋1项系数最大，则有rr

r＋1r＋1C53≥C5·3，5！5！×3≥5－r！r！6－r！r－1！，∴5！5！≥5－r！r！4－r！r＋1！×3.

∴13≥5－rr＋1.31≥，r6－r

79∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4. 22变式迁移3

(1)D

[(1)分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n＝12；②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n＝13，所以n的值可能等于11,12,13，故选D.] 652(2)解

(ⅰ)∵C4n＋Cn＝2Cn，∴n－21n＋98＝0. ∵n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5. 14335∴T4的系数为C3，

722＝2134T5的系数为C4722＝70，

当n＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T8. 177∴T8的系数为C71422＝3 432. 122(ⅱ)∵C0n＋Cn＋Cn＝79，∴n＋n－156＝0. ∴n＝12或n＝－13(舍去)．

设Tk＋1项的系数最大，

11＋2x12＝12(1＋4x)12，

∵22kkk1k1C124≥C124，∴kk∴9.4≤k≤10.4. k＋1k＋1C124≥C124.－－

∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，

11210101010T11＝C4x＝16 896x. 122课后练习区

1．C 555566662．B

[(1＋3x)n的展开式中x5的项为C5n(3x)＝Cn3x，展开式中含x的项为Cn3x，由两项的系数相等得C535＝C636，解得n＝7.] n·n·3．B

4.C

5.D 6．17 解析

二项展开式的通项为解得r＝2. 1∴含x15的项的系数为(－1)2()2C2＝17. 31857．－

28．4 351 111＋x＋210＝1＋x＋210

解析

xx10191281371461＝C010(1＋x)＋C10(1＋x)2＋C10(1＋x)4＋C10(1＋x)6＋C10(1＋x)8＋…，

xxxx6100从第五项C410(1＋x)8起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C10×C10，x12243C10×C9，C10×C8，C10×C67. 故原三项展开式中常数项为

0122436C10C010＋C10C9＋C10C8＋C10C7＝4 351. 9．(1)解

①令x＝1，

得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.(2分) ②令x＝－1得，

a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，

而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，

两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.(4分) ③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，

得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0

＝16－1＝15.(6分) ＋(2)证明

∵32n2－8n－9＝32·32n－8n－9 ＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9 －1n1n－1＝9(C0＋…＋Cn8＋Cn1)－8n－9 n8＋Cn8n·n·(8分) －22n－1＝9(8n＋C1＋…＋Cn8n＋9－8n－9 n8n8)＋9·2n－21n－3n－2＝9×8×(8＋Cn·8＋…＋Cn)＋64n

－2n－21n－3＝64[9(8＋Cn8＋…＋Cnn)＋n]，

显然括号内是正整数，

∴原式能被64整除．(12分) 11＋n

10．证明

因为n18－rTr＋1＝Cr(－18x1rr18-)＝(－1)()C18x33xrr13r23r.令18－＝15，2

1n－11n－1n－211212313n1n＝C0＋C·＋C·＋C·＋…＋C·＝1＋1＋·＋·nnnnnnnnn2！n3！nn1n－1n－21＋…＋·….(4分) n！nnn11＋n

所以2≤n111<2＋＋＋…＋(6分) 2！3！n！111<2＋＋＋…＋

1·22·3n－1n11111－1－－＝2＋2＋23＋…＋n－1n

1＝3－<3，(9分) n11＋n＝2；

仅当n＝1时，n11＋n<3.(11分) 当n≥2时，2<n11＋n<3.(12分) 故对一切n∈N*，都有2≤nC4－24n·442211．解

由题意知，第五项系数为Cn·(－2)，第三项的系数为Cn·(－2)，则有2Cn·－2210＝，

1化简得n2－5n－24＝0，

解得n＝8或n＝－3(舍去)．(2分) (1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(4分) 2r8－r－(2)通项公式Tr＋1＝Cr·(x)·8x2

＝Cr(－2)r·8·x8-r2328－r3－2r，令－2r＝，则r＝1. 2232故展开式中含x的项为T2＝－16x.(8分) －1－(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为Cr2r1，Cr2r，8·8·＋1＋Cr2r1，若第r＋1项的系数绝对值最大，

8·r－1r－12≤Cr2r，C8·8·则r＋1r＋1

解得5≤r≤6.(12分) C8·2≤Cr2r，8·－又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792x11. 由n＝8知第5项二项式系数最大．

－此时T5＝1 120x6.(14分)