3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学实录

3.2

复数代数形式的四则运算

3.2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

1．熟练掌握复数的代数形式的加减运算法则．(重点) 2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点、易混点)

[基础·初探]

教材整理1

复数代数形式的加法运算及几何意义

阅读教材P56～P57“思考”以上内容，完成下列问题．

1．运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. 2．加法运算律

交换律

结合律

3.复数加法的几何意义

→→如图3-2-1，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行→四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ.

1 z1＋z2＝z2＋z1

(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)

图3-2-1

→→在复平面内，向量OZ1对应的复数为－1－i，向量OZ2对应的复数为1－i，则→→OZ1＋OZ2对应的复数为________．

→→【解析】

由复数加法运算的几何意义知，OZ1＋OZ2对应的复数即为(－1－i)＋(1－i)＝－2i. 【答案】

－2i 教材整理2

复数代数形式的减法运算及几何意义

阅读教材P57“思考”以下至“例1”以上内容，完成下列问题．

1．运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数减法的几何意义

→→→如图3-2-2所示，设OZ1，OZ2分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且OZ1，→→→→OZ2不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量OZ1－OZ2(即Z2Z1)对应，这就是复数减法的几何意义．

图3-2-2 →→这表明两个复数的差z1－z2(即OZ1－OZ2)与连接两个终点Z1，Z2且指向被减数的向量对应．

已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z1－z2对应的点位于第________象限．

2

【解析】

z＝z1－z2＝(2＋i)－(1＋2i)＝(2－1)＋(1－2)i＝1－i，对应的点为(1，－1)位于第四象限．

【答案】

四

[小组合作型]

计算：

(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；

(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；

(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；

(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．

【精彩点拨】

解答本题可根据复数加减运算的法则进行．

【自主解答】

(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.

1．复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行．

2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．

3．准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．

[再练一题]

1．计算：

(1)(－2＋3i)＋(5－i)；

3 复数的加减运算

(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

【解】

(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i＝22i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.

复数加减运算的几何意义

在复平面内，A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，

以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．→→→【精彩点拨】

AD＝AB＋AC→z4－z1＝z2－z1＋z3－z1→z4→|z4－z1|

【自主解答】

如图所示：

→AC对应复数z3－z1，

→AB对应复数z2－z1，

→AD对应复数z4－z1，

→→→由复数加减运算的几何意义得AD＝AB＋AC，

∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，

∴z4＝z2＋z3－z1

＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，

→∴AD的长为|AD|＝|z4－z1| ＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.

4

1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．

2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．

3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．

[再练一题]

→2．复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为→1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求点C对应的复数．

→→【解】

∵BA对应的复数为1＋2i，BC对应的复数为3－i，

→→→∴AC＝BC－BA对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. →→→又∵OC＝OA＋AC，

∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. [探究共研型]

复数加减法几何意义的综合应用

探究1

|z1－z2|的几何意义是什么？

【提示】

|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．

探究2

满足条件|z＋2－2i|＝1的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么？

【提示】

法一

(代数法)设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则|(x＋yi)＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，

∴x＋22＋y－22＝1. ∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1，即复数z对应复平面上的点Z的轨迹为以(－2,2)为圆心，1为半径的圆．

法二

(几何法) |z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝1，

∴复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆．

5

已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．

【精彩点拨】

利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．

【自主解答】

法一：设w＝z－3＋4i，

∴z＝w＋3－4i，

∴z＋1－i＝w＋4－5i. 又|z＋1－i|＝1，

∴|w＋4－5i|＝1. 可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．

如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.

图(1)

图(2) 法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，

而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，

在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，

所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.

复数模的最值问题解法

(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．

(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．

(3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．

6

[再练一题]

3．已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．

【解】

由复数及其模的几何意义知：

满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1. 复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．

而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r，最大值为|AC|＋r. ∴|z－3－2i|min＝3＋22＋2－22－1＝4. |z－3－2i|max＝3＋22＋2－22＋1＝6.

1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(

) A．－1＋i C．i 【解析】

(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i. 【答案】

A 2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

B．1－i D．－i 【解析】

∵z＝z2－z1＝(1＋5i)－(3＋i) ＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i. 【答案】

B 3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z(

) A．在实轴上

C．在第一象限

B．在虚轴上

D．在第二象限

【解析】

设z＝x＋yi(x，y∈R)，

由|z－1|＝|z＋1|，得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，

化简得x＝0.

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【答案】

B →→→4．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1→＋5i，那么BC对应的复数为________. 【导学号：81092045】

→→→→→【解析】

∵BC＝－(OA－OC＋AB)，∴BC对应的复数为－[(－2＋i)－(3＋2i)＋(1＋5i)]

＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]

＝－(－4＋4i)＝4－4i. 【答案】

4－4i 5．如图3-2-3所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.

图3-2-3 →求：(1)AO表示的复数；

→(2)CA表示的复数；

→(3)OB表示的复数．

→→【解】

(1)因为AO＝－OA，

→所以AO表示的复数为－3－2i. →→→→(2)因为CA＝OA－OC，所以CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→(3)因为OB＝OA＋OC，所以OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.

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学业分层测评

(建议用时：45分钟) [学业达标]

一、选择题

1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为(

) A．5－3i

C．7－8i B．3＋5i D．7－2i 【解析】

(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i) ＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i ＝7－8i. 【答案】

C →和OB→，其中O为坐标2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量OA→|＝(

) 原点，则|ABA.2 C.10 B．2 D．4 【解析】

由复数减法运算的几何意义知，

→对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，

AB→|＝2. ∴|AB【答案】

B 3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为(

) A．a＝－3，b＝－4 C．a＝3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4 D．a＝3，b＝4 【解析】

由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故

b＋4＝0，a＋3＝0，4－b≠0，

解得a＝－3，b＝－4. 9

【答案】

A 4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(

) A．等腰三角形

C．等边三角形

B．直角三角形

D．等腰直角三角形

→，OB→为邻边所作的平行【解析】

根据复数加(减)法的几何意义，知以OA四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．

【答案】

B 5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在(

) A．第一象限

C．第三象限

【解析】

∵z＝3－4i，

∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－32＋－42＋1－i ＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i. 【答案】

C 二、填空题

6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_________.

【导学号：81092046】

【解析】

原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i. 【答案】

16i 7．z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝________. 【解析】

设z＝bi(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝1＋b－12＝1，解得b＝1，

∴z＝i. 【答案】

i 8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．

【解析】

|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为22＋1. B．第二象限

D．第四象限

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【答案】

22＋1 三、解答题

39．已知z1＝2a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，且z1－z2＝43，求复数z＝a＋bi. 33【解】

z1－z2＝a＋a＋1i－[－33b＋(b＋2)i]＝a＋33b＋(a－b22－1)i，

23a＋33b＝4∴a－b－1＝0，a＝2，解得b＝1，∴z＝2＋i. 3，

10．如图3-2-4，已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

图3-2-4 【解】

法一：设正方形的第四个点D对应的复数为

x＋yi(x，y∈R)，

→＝OD→－OA→对应的复数为

∴AD(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，

→＝OC→－OB→对应的复数为

BC(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. →＝BC→，

∵AD∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，

x－1＝1，x＝2，即解得

y－2＝－3，y＝－1.

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故点D对应的复数为2－i. 法二：∵点A与点C关于原点对称，

∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，

∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i. [能力提升]

1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(

) A．1 C．－2 B．2 D．－1 【解析】

z1－z2＝(y＋xi)－(－x＋yi)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，

x＋y＝2，∴

x－y＝0，∴x＝y＝1，∴xy＝1. 【答案】

A 2．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的(

) 【导学号：81092047】

A．内心

C．重心

B．垂心

D．外心

【解析】

由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等．所以z对应的点为△ABC的外心．

【答案】

D y3．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝3，则x的最大值为________．

【解析】

|z－2|＝

x－22＋y2＝3，

∴(x－2)2＋y2＝3. y由图可知xmax＝3. 【答案】

3 4．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i. →，AC→，BC→对应的复数；

(1)求AB

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(2)判断△ABC的形状．

【解】

(1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. →，OB→，OC→对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，

∴OA→＝(1,0)，OB→＝(2,1)，OC→＝(－1,2)．

∴OA→＝OB→－OA→＝(1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－2,2)，

∴AB→＝OC→－OB→＝(－3,1)．

BC→对应的复数为1＋i，AC→对应的复数为－2＋2i，BC→对应的复数为－3＋即ABi. →|＝1＋1＝2，|AC→|＝－22＋22＝8，

(2)∵|AB→|＝－32＋1＝10，

|BC→|2＋|AC→|2＝10＝|BC→|2. ∴|AB→|≠|AC→|，

又∵|AB∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.

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