1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优秀教案内容

1.2回归分析的基本思想及其初步应用（1）

一、教学目标：

知识与技能：

通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用．

过程与方法：

让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法

的应用；通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法．

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：理解回归分析的基本思想，掌握求回归直线方程的步骤以及对随机误差e的认识．

难点：掌握利用回归分析的基本思想处理实际问题的方法，理解随机误差的来源和对预报变量的影响．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）创设问题情境

“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

活动设计：学生独立思考回答问题．

学情预测：学生可能会说“有名气的老师不一定能教出厉害的学生”．

教师提问：为什么？

学情预测：两者之间有一定的关系，但不是必然关系，即名师也不一定出高徒，二者之间是相关关系．

设计意图：复习两个变量之间的关系，为线性分析做好铺垫．

提出问题：我们知道函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．上面所提的“名师”与“高徒”之间的关系就是相关关系．那么，在一般情况下，人的身高与体重之间是什么关系？试设计一个方

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案，来分析某大学女大学生的身高与体重之间的关系，并以此为依据来预报身高172 cm的女大学生的体重．

学生活动：学生独立思考，小组合作交流讨论．

活动结果：可以采用统计的方法解决这一问题，先采用随机抽样的方法，从在校女大学生中抽取样本，记录其身高和体重，然后通过所得数据建立线性回归模型，并根据所得模型来预报身高为172 cm女生的体重．其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报．

设计目的：合理设计问题，使学生进一步掌握用统计方法解决问题的基本步骤：提出问题、收集数据、分析整理数据、进行预测或决策．

（二）

探究新知

若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编号

身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重．

学生活动：分组合作探究，查阅课本中的计算公式．

活动结果：1.画散点图

选取身高为自变量x，体重为因变量y，画出散点图形象展示两个变量之间的关系，并判断二者是否具有线性关系．

由散点图可以发现，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归直线近似刻画它们之间的关系．

2．建立回归方程

^^^由计算器可得a

＝－85.712，b

＝0.849.于是得到回归方程为y

＝0.849x－85.712. 3．预报和决策

^当x＝172时，y

＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．

即一名身高为172 cm的女大学生的体重预报值为60.316

kg.

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设计目的：进一步熟悉线性回归分析的具体步骤．提高学生的数据处理能力，并让学生在应用中进一步掌握公式的应用．

理解新知

提出问题：散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关性，那么还有什么方法可以描述线性相关性的强弱？

学生活动：独立思考或相互讨论．

活动结果：还可以通过必修3中的相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关关系的强弱．

提出问题：如何根据相关系数r描述线性相关性的强弱？相关系数的计算公式是什么？

学生活动：独立思考或相互讨论，查阅课本．

i＝1

(xi－x)(yi－y)

n活动结果：其具体计算公式是r＝nni＝1j＝1

(xi－x)2

(yj－y)2

当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

提出问题：在本例中，身高和体重的线性相关系数是多少？我们建立的线性回归方程是否有实际意义？

学生活动：独立计算，求解相关系数．

活动结果：利用计算器可求得r＝0.798，这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的．

设计目的：复习判断变量线性相关的方法，进一步熟悉线性相关系数的计算公式．

提出问题：身高为172 cm的女大学生的体重一定是60.316 kg吗？

学生活动：独立思考也可相互讨论．

学情预测：不一定，但一般可以认为她的体重在60.316 kg左右．

提出问题：为什么根据得到的一次函数求出的结论不一定是实际值？产生误差的原因是什么？

学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．

活动结果：观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数y＝bx＋a来严格刻画(因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系)．在数据表中身高为165 cm的3名女大学生的体重分别为48 kg、57 kg和61 kg，如果能用一次函数来描述体重与

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身高的关系，那么身高为165 cm的3名女大学生的体重应相同．这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，如生理因素、饮食锻炼、测量工具等其他因素．

为了更准确地刻画身高和体重的关系，可用下列线性回归模型来表示：y＝bx＋a＋e.我们把自变量x称作解释变量，因变量y称作预报变量，e称为随机误差．

提出问题：函数模型y＝bx＋a与线性回归模型y＝bx＋a＋e有什么关系？

学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．

活动结果：线性回归模型：y＝bx＋a＋e当理想化时，即所有人的遗传因素都一样、所有人的生活方式都一样、所有测量都没有误差等等，此时e＝0，线性回归模型就变成函数模型了．因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式．

设计目的：突破本节课的难点，充分认识随机误差e的来源和对预报变量的影响．

（三）应用巩固

例1假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计数据：

x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 若由此资料可知y对x呈线性相关关系，试求：

(1)回归直线方程；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？

^^分析：正确理解计算b

，a

的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．

解：(1)由上表中的数据列成下表

i xi

yi

xiyi

x2i

故x＝4，y1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9 3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42.0 36 52＝5，xi＝90，xiyi＝112.3，于是

i＝1i＝15

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^i＝1xiyi－5x

yx2i－5x52^^112.3－5×4×5＝＝1.23，a

＝y－b

x＝5－1.23×4＝0.08，

90－5×425b

＝i＝1^^^∴回归直线方程为y

＝b

x＋a

＝1.23x＋0.08. ^(2)当x＝10时，y

＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，估计当使用10年时的维修费用为12.38万元．

点评：由于本节课题目计算量大，公式较多，所以在求解时易出现公式乱用，数据出错等问题，对这一点，同学们在解题时尤为需要注意．

例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：

x y 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72 其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩．

(1)y与x是否具有线性相关关系；

(2)如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程．

思路分析：先根据数据计算相关系数，然后根据相关系数的大小，判断两个变量是否线性相关．

解：(1)由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得

x＝71，y102＝72.3，xiyi＝51 467，xi＝50 520，y2i＝52 541，

i＝1i＝1i＝11010i＝1

(xi－x)(yi－y)≈0.785 3>0.75，

nr＝n2ni＝1j＝1

(xi－x)

(yj－y)2故两个变量有很强的线性相关关系．

^^^(2)y与x具有线性相关关系，可设线性回归方程为y

＝a

＋b

x，则

10^i＝1

(xi－x)(yi－y)^^b

＝i＝1

(xi－x)210≈1.22，a

＝y－b

x＝72.3－1.22×71＝－14.32，

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^所以y关于x的线性回归方程为y

＝1.22x－14.32. 点评：本题通过计算相关系数，将两个变量相关性的判断转化为数据大小的比较．

变式：在确定上题中y与x的线性相关关系中，是否还有别的方法？若有，请加以说明．

活动设计：学生分组讨论，回顾课本解答问题．

活动成果：还可以通过画散点图的方法来判断两个变量是否具有相关性．如选取x的值作为自变量，y的值作为因变量，画出散点图．

由图可知两个变量有线性相关性，求其回归直线方程是有实际意义的．

设计意图：进一步熟悉判断变量线性相关的各种方法．

（四）达标检测

1．对于回归分析，下列说法错误的是(

) A．在回归分析中，两个变量的关系若是非确定关系，那么其中一个变量不能由另一个变量唯一确定

B．回归系数可以是正的，也可以是负的

C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明变量x与变量y之间完全线性相关

D．相关样本系数r∈(－1,1) 2．下列各组变量之间具有线性相关关系的是(

) A．出租车费与行使的里程

B．学习成绩与学生身高

C．身高与体重

D．铁的体积与质量

^3．若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的回归直线方程为y

＝50＋80x，则下列判断正确的是(

) A．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元

B．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元

C．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元

D．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元

答案：1.D

2.C

3.B 五、小结

(给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法、例题、题目类型、解题规律等；然后用精炼

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的、准确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律) 1．知识收获：进一步学习回归分析的基本思想以及求回归直线方程的步骤，正确认识随机误差e的产生原因、了解线性回归模型与函数的不同之处．

2．方法收获：线性回归方程的求法、用样本估计总体的统计思想．

3．思维收获：体会模型诊断的思想，提高利用回归方法解决实际问题的能力，培养探索和创新的精神．

设计意图：让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．

六、作业

1.课时检测

七、课后记

本设计通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生在不断探索中体会发现与成功的快乐．

本节课主要通过具体的实际例子，体会线性回归思想在处理实际问题中的应用，既是对必修3相关内容的延伸，更是对必修3相关内容的复习，通过解决具体实际案例，让学生掌握判断变量是否线性相关的方法和求线性回归方程的具体步骤．

通过本节课的学习培养学生对数据的处理能力和应用数学解决实际问题的数学意识，同时在问题解决的过程中，让学生体会与他人合作的重要性．

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