复习参考题第二课时教案

非线性拟合如何转化为线性回归方程

常用方法：1.换元法转线性回归； 2.取对数转线性回归；3.先取对数再换元转线性回归

题型一：幂函数型--.换元法转线性回归

1.（2015全国1卷理科19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y(单位：t)和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

年销售量/t620600580560540520500480343638404244464850525456年宣传费/千元888

8x

y

w

(xx)ii12

(ww)ii12

(xx)(yy)

(ww)(yy)

iiiii1i146.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 18表中wixi，wwi．

8i1（1）根据散点图判断，y＝a＋bx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x．根据（2）的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线vu的斜率和截

µ距的最小二乘估计分别为：(uu)(vv)iii1n(uu)ii1nµvµ，u．

2审题分析：

一：题目背景

1.非线性拟合转化为线性回归方程

2. 题目出处：2015全国卷1理科

3.涉及知识点：（1）具有相关性的两个变量的散点图

（2）回归分析：最小二乘，求回归方程（3）

回归分析：预报

二：分析题目的条件

【答案】（Ⅰ）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（Ⅱ）y100.668x（Ⅲ）46.24

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合ycdx作为拟合的函数；

（Ⅱ）令w（Ⅲ）x，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（ⅰ）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.

试题解析：

（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.

（Ⅱ）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于d(ww)(yy)iii18(ww)ii18=2108.8=68，

16∴cydw=563-68×6.8=100.6.

∴y关于w的线性回归方程为y100.668w，

∴y关于x的回归方程为y100.668x.

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值

y100.66849=576.6，

z576.60.24966.32.

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

z0.2(100.668x)xx13.6x20.12，

∴当x=13.6=6.8，即x46.24时，z取得最大值.

2故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

2.取对数转线性回归（区统测19.本小题满分12分）

一只红铃虫的产卵数y和温度x有关．现收集了7组观测数据如下表，得到下面的散点图及一些统计量的值．

温度x/℃

产卵数y/个

21 7 23 11 产卵数/个35030025020015010050温度/℃25 21 27 24 29 66 32 115 35 325 020 22 24 26 28 30 32 34 36

x

27.429 y

81.286 z

3.612 (xx)(zz)

(xx)iiii1i1772

e3.767

e4.311

40.182 147.714 43.250 74.515 17表中zilnyi，zzi．

7i1

（1）根据散点图判断，y＝a＋bx与ycedx哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）根据（2）的结果及表中数据，求出温度为30℃时一只红铃虫的产卵数的预报值是多少？（结果四舍五入到个位数）

附：对于一组数据（x1，z1），（x2，z2），…，（xn，zn），其回归直线z＝a＋bx的

ˆ斜率和截距的最小二乘估计分别为：b(xx)(zii1nii1niz)2ˆ．

ˆzbx，a(xx).解：（1）根据散点图可以判断，

ycedx适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型．

（2）对ycedx两边取自然对数得lnylnc+dx，

令zlny，alnc，bd，得zabx．

ˆ因为b(xx)(zii17ii17iz)2(xx)40.182=0.272，

147.714ˆ3.6120.27227.4293.849，

ˆzbxaˆ0.272x3.849．

所以z关于x的线性回归方程为zˆe所以y关于x的回归方程为y0.272x3.849．

4.311ˆe（3）由（2）得，当x＝30时，一只红铃虫的产卵数的预报值是y所以温度为30℃时一只红铃虫的产卵数的预报值是75个．

74.51575，

3.拓展：先取对数，再换元转线性回归（2017海珠区调19）

某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量yg与尺寸xmm之间近似满足关系式yaxb

（a,b为大于0的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

尺寸mm

质量g

38

48

58

68

78

24

88

16.8

18.8

20.7

22.4

25.5

对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：

i1lnxilnyi

6i1lnxi

6i1lnyi

6i1lnxi

6275.3

24.6

18.3

101.4

（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；

（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间,ee内时为优等品，现从抽取的976件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.

附：对于一组数据v1,1,v2,2,...vn,n，其回归直线v的斜率和截距的最vi,invi1ˆˆv.

ˆ小二乘估计分别为,nvi2nv2i1n19．（1）yex；（2）123

2【来源】【全国市级联考】广东省广州市海珠区2018届高三综合测试（一）数学理试题

【解析】试题分析：（1）对yaxba,b0两边取科学对数得lnyblnxlna，令ˆ及aˆ，即可求得y关于x的回ilnxi,uilnyi得ublna，由最小二乘法求得系数b归方程；（2），求得其的可能取值是0,1,2,3.，分别求得P0,P1,P2及P3，即可得随机变量的分布列，利用期望公式可得数学期望.

试题解析：（1）对yax(a，两边取自然对数得lnyblnx,b0)b，令lna，

vilnxi,uilnyi，得ubvlna

24.618.3vi,uinvu660.271i1ˆbn20.5422224.6vinv101.46i16n75.36，

ˆ18.3124.61，得aˆe，故所求回归方程为yex2.

ˆubvlna6261（2）由yexeee1,，解得49x81,x58,68,78，即优等品有3件.

xx97x2120312C3C3C3C319所以的可能取值是0,1,2,3.

P0，

,P133C620C620130C32C3C3C391.

P33,P33C620C620其分布列为：



P

0

1

201

2

3

1

209

209

20所以，

E0

19913123.

202020202