2.2.2 反证法主要内容及教案内容

“反证法”教学设计

一、教学设计思路分析

1．教材内容分析

本课是人教A版数学选修2-2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容——反证法。

本章包括推理与证明两个部分，是在前面学过的基础上，对所学知识进行回顾与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法。推理与证明贯穿于整个高中数学体系，是数学的基本思维过程。根据《课程标准》，在本章学习过程中，更加注重结合实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。

本节——反证法，是在前面介绍了直接证明（综合法、分析法）的基础上学习的，让两种不同思维形成强烈的反差，有利于学生更深刻地体会两种思维的差别及各自的特点。逆向思维是本节学习的一个难点，所以，在本节的学习中要注重让学生体会反证法的思考过程及特点，建立起使用反证法的感觉。

2．学生基本情况分析

本节内容在初中时期已经初步接触，但是，由于最初学习的时候，知识不够系统，逆向思维的训练及发展不够充分，使得反证法成为学生学***难点。

本次授课对象为高二理科普通班，数学思维一般，其中推理论证思维稍显不足，知识不够系统，遗忘知识较多，所以，为了让学生更加轻松地理解反证法的思维过程，所选例题比较简单，逻辑清晰易懂。在后面还有一个生活趣味反证法，有利于加深学生对反证法的理解。

3．教学设计流程图

二、教学方案设计

1．教学目标

（Ⅰ）知识与技能

①了解反证法的概念；

②掌握反证法的解题步骤，会用反证法证明简单的命题

③掌握用反证法简单推理的能力；

（Ⅱ）过程与方法

①通过小题探究，体会反证法的思维过程；

②通过概念形成，培养学生比较、归纳、总结的能力。

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（Ⅲ）情感态度与价值观

①通过探究观察、讨论等活动，让学生体会学习的乐趣，树立积极的学习态度；

②通过问题设置，激发学生学习的内在动力。

2．教学重点和难点

（Ⅰ）重点：

①理解反证法的概念；

②掌握反证法证明命题的思路方法及答题步骤；

③用反证法证明简单的命题。

（Ⅱ）难点：

①理解反证法中的“假设”内在含义及作用

②理解反证法中的矛盾推导。

3．教学方法

讲授法，对比归纳法，练习法。

4．教学准备

多媒体课件、黑板

5．教学过程

教学流程

【回顾】

教师活动

学生活动

设计意图

知

识

回

顾

“假上新课前，我们首先回顾一下在前面所学的语句的否定填写相关语句为反证法的设”做铺垫

形式。

的否定形式

正面词语

或（Ú）

都是

任意（"）

否定形式

且（Ù）

不都是

存在（$）非

跟随老师一起【巩固】

回顾语句的否【例】命题“m、nÎN,如果m,n可被3整除，那么m,n

定形式，对于个

中至少有一个能被3整除”,反设的内容应为（

B

）

别比较难的语

（A）m,n都能被3整除

（B）m,n都不能被3整除

句，采用补集的

（C）n不能被3整除

（D）m不能被3整除

观点进行解释。

【提问】

区分两个概念，

“否定形式”与“否命题”有何区别？

更好地把握如

否定形式：否定结论

何对命题进行

否命题：否定条件，否定结论

“反设”

【讨论】

通过小题设计1、问题

学生正面思考及矛盾的制造，将九个球分别染成白色和红色，那么无论怎么染，至少这个问题，并给使得学生学会有五个球是同色的。请证明这个结论。

从正面思维转出答案。

向反面思维。

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小

题

讨

论

引

入

新

课

2、分析题意，讲解思路 (板书) 正面思考：

白 红

1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 通过把染色情况列举出来，很容易可以得出来结论的正确性。

提问：若小球为100个。对于这类问题，我们还能用列举法轻易解决吗？

引导：很明显，当小球总数为100个时，用列举法解决就显得不妥当了。也就是说，从正面思考这个问题显得复杂了。那同学们想下，咱们能否从问题的反面着手解决呢？如果这个问题的反面不成立，是不是同样说明这个问题成立的正确性？

反面思考：假设有某种染色法使红色和白色球的个数都不超过4个，则球的总数应不超过4+4=8个，这与白球总数是9个矛盾。因此，无论怎么染色，至少有5个球是同色的。

其实上述解决问题的方法就是反证法，这个小题，让同学们回顾了反证法的解题思路。那同学们能不能根据这个答题思路，简单回顾一下反正法的具体定义呢？

【概念新知】（简单板书）

定义：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

简单重述概念内容，理清反证法的思路，引导学生结合例题，归纳反证法的步骤：

①反设：假设结论不成立，即结论的反面成立；

②归谬：将结论的反面作为已知条件，再利用一部分（或全部）已知条件，通过正确的推理得出矛盾（与题设矛盾、与定理或公理矛盾、与常识矛盾、与前后结论矛盾）；

③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。

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通过矛盾的制造，使学生的正向思维遇到困难，然后启发学生从反面思考

思考并简单回答反面思考的结论。

学生根据例题，交流讨论，概括反证法的概念及步骤。

反证法在初中已经初步接触，所以，经过提示，学生容易想到反证法。经过这个小题，让学生初步回忆起反证法的大致步骤及思维。

在学过的前提下，根据例题概括出相关的概念，有利于提高学生的观察、归纳、概括的能力。

练

习

巩

固

【例1】DABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证：

例1、例2，在B

2系统整理反证法的概念及步证：假设B成立，则B是ABC中最大的内角。

骤的基础上，通21111过老师的讲授，因此，ba,bc，从而，,。

进一步整理反babc211证法的思维。学故而有。

生要观察理解bac假设在反证法因为a,b,c的倒数成等差数列，

的作用，及如何211通过推理论证所以。

得出矛盾。同时bac112思考每一步的显然与已知条件矛盾。

作用及价值。

acb因此假设不成立。原命题成立。

（肯定型命题，与条件矛盾）

教师点明：1、否定的结论作为条件使用，以此进行推

理论证。

2、强调反证法的答题步骤及书写规范。

【例2】若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数，那么方

程f(x)0在区间[a,b]上至多只有一个实根。

证：假设方程f(x)0在区间[a,b]上至少有两个实根。

设,为它的两个实根，则f()f()0。

因为，不妨设，又因为函数f(x)在[a,b]

上是增函数，所以f()f()。

显然，这与f()f()0相矛盾。

所以方程f(x)0在区间[a,b]上至多只有一个实数

根。

（结论含有“至多”、“至少”、“都”等词语的问题，与

假设矛盾）

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通过具体的例题，让学生理解反证法的思维过程，通过老师对思维过程及每一个步骤的讲解，学生逐步突破曾经的思维障碍。

例1讲解需详尽，充分结合反证法的思维步骤进行。有利于学生初步接受反证法。

例2的讲解过程中，试着让学生自己思考，老师辅助讲解。同时，注意针对例1提出的“教师点明”强化。有利于学生思维的深入，并有利于学生逐步接受反证法的思维过程。

有利于发展学生的思维及培养他们的自信心。

【例3】证：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行。

证：假设过点A还有一天直线b与已知直线a平行，

即有bbA。

又b//b，b//a，由平行公理得b//b。

显然bbA与b//b矛盾。

故而假设错误，即原命题成立。

(证明唯一性的问题，与公理矛盾)

【思考1】通过以上例题，同学们想一想，用反证法解题的关键步骤是什么？

（1）假设原命题结论不成立

（2）从假设出发，推理论证，得出矛盾。

【思考2】矛盾的推导过程中，如何得出矛盾？

（1）与已知条件矛盾

（2）与已有公理、定理、定义矛盾

（3）与假设矛盾

（4）自相矛盾

议一议：反证法的适用范围

①否定型命题

②唯一性命题

③存在性命题

④有些肯定型命题

⑤某些命题的逆命题

⑥含“至多”、“至少”等词的问题

总而言之，正难则反！

①请同学们谈谈本节课的收获。

②总结本节课的主要内容

③表扬本节课表现出众的同学

例3学生可以自行

演练，请其他同学进行评价，老师进行相应的补充。

课

堂

思

考

学生观察例题的题型，并结合解题思维，合作讨论探究

有利于激发学生对于反证法的思考及知识的总结。

课

堂

总

结

①回顾本节课的主要知识

②整理自己的体会，并发表自己的个人意见

有利于学生对所学内容的梳理，及时根据自己的情况进行查漏补缺。老师也可根据同学们的体会反应，给以相应的知识补充或者解疑答惑。

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生

活

数

学

反证法不止存在于数学习题中，生活中，我们也总

是使用反证法的思想。下面同学看个小对话，也就能更

好地理解反证法了。

乙：在一个天气晴朗，万里无云的星期天早晨，我俩刚

起床后走在马路上，突然发现马路上到处都是水，我说

“昨晚下雨啦．”你会怎么样说呢？

甲：我一定会说“不！这么晴朗的天怎么会下雨呢？”

乙：我说“不下雨马路上怎么会这么多水呢？”你将作

何解释？

学生思考对话甲：我会说“要是下雨，马路边的树叶上应该也有水才中蕴含的反证是，可树叶上却连一滴水也没有．这不是很矛盾吗？”

法思维，并结合乙：你说得太对了．要是下雨，肯定是不可能只下在马自己的生活实路上的．你刚才这种说理的方法用的就是反证法．

际，消化这种思甲：啊，这就是反证法．

维。

乙：是的．你想，你刚才在跟我争论的观点是不是要证明“昨晚没有下雨？”

甲：不错呀！

乙：你知不知道你是用哪一句话来让我心服口服的？

甲：“要是下雨，……”

乙：对．你一开始就用“要是下雨”，也就是说“假设下雨”，然后就会怎么样、怎么样，导出一个奇怪的现象或矛盾．你看，你没有直接说明“因为什么，所以没有下雨”，相反地却是先“假设下雨，然后会怎么样，最后导出一个矛盾”，这就是反证法．

①方便学生理解反证法思想。

②实例不仅体会了数学思想在生活中的广泛应用，也让学生明白数学来源于生活实际。

6．板书设计

反证法

主板 副板

概念：……

…… 例1、…… …… 例2、……

…… 思考

…… ……

步骤：①…… …… …… ……

…… …… ……

②……

③……

7．课后练习

1、（2014年山东卷）用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是

（A）方程x2+ax+b=0没有实根

（B）方程x2+ax+b=0至多有一个实根

（C）方程x2+ax+b=0至多有两个实根

（D）方程x2+ax+b=0恰好有两个实根

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2、设a、b、c是互不相等的非零实数，试证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0中至少有一个方程有两个相异实根。

3、设f(x)=x2+bx+c，若函数y=f(x)在区间[-1,1]上的最大值是M，求证：M≥1。

2

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