3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义名师课堂实录

3．2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

教学目标：

1、理解并掌握实数进行四则运算的规律,了解复数加减法运算的几何意义。

2、在问题探究过程中,体会和学习类比,数形结合等数学思想方法,感悟运算形成的基本过程。

3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念;画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用。

学情分析

高二(4)班属于普通文科班,女生比例较大,学生基础普遍比较薄弱,学习习惯较差。学生受文科思维的影响,习惯于机械记忆,受文科学习方式的负面影响,文科学生不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆,习惯于老师讲,自己记,复习背,对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识,不重视思维训练,导致数学学习能力下降,心理压力增大,恶性循环。因此培养学生良好的学习习惯与严谨的逻辑思维能力相当重要。

教学重点、难点

复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则、运算律,以及复数加、减运算的几何意义。难点:初步运用加减法的几何意义解决简单问题。

预习课本P56～57，思考并完成下列问题

(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？

(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？

[新知初探]

1．复数的加、减法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，

z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数加法运算律

设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，

(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

3．复数加、减法的几何意义

――→――→――→――→设复数z1，z2对应的向量为OZ1，OZ2，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平

――→――→――→行四边形的对角线OZ

所对应的复数，z1－z2是连接向量OZ1与OZ2的终点并指向――→OZ1的向量所对应的复数．

[点睛]

对复数加、减法几何意义的理解

它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．(

) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．(

) (3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(

) A．8i

C．6＋8i

答案：B 3．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(

) A．0

C．6

答案：D ――→――→4．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，――→则|AB|等于(

) A.2

C.10

答案：B

复数代数形式的加、减运算

[典例]

(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________. [解析]

(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. B．2 D．4 B．2i D．6－2i B．6 D．6－8i

(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，

5x－5y＝5，所以解得x＝1，y＝0，

－3x＋4y＝－3，

所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，

所以|z1＋z2|＝2. [答案]

(1)－2－i

(2)2

复数代数形式的加、减法运算技巧

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．

(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

[活学活用] 已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________. a2－2a－3＝0，解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以2a－1≠0，

解得a＝3. 答案：3 复数加减运算的几何意义

[典例]

如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3+2i，-2+4i.求：

――→(1)

AO表示的复数；

――→(2)对角线CA表示的复数；

――→(3)对角线OB表示的复数．

――→――→――→[解]

(1)因为AO＝－OA，所以AO表示的复数为－3－2i. ――→――→――→――→(2)因为CA＝OA－－OC，所以对角线CA表示的复数为( 3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ――→――→――→――→(3)因为对角线OB＝OA＋OC，所以对角线OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.

复数与向量的对应关系的两个关注点

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．

(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．

[活学活用] ――→

复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为1＋2i，――→向量BC对应的复数为3－i，求点C对应的复数．

――→――→解：∵BA对应的复数为1＋2i，BC对应的复数为3－i. ――→――→――→∴AC＝BC－BA对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. ――→――→――→又∵OC＝OA＋AC，

∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

1B.

2D.5 复数模的最值问题

[典例]

(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(

) A．1

C．2

(2)若复数z满足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．

[解析]

(1)设复数-i，i，-1-i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，

因为|z+i|+|z-i|=2，

|Z1Z2|=2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案]

A ――→(2)解：如图所示，

|OM|＝(－3)2＋(－1)2＝2. 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.

[一题多变] 1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．

解：因为|z|＝1且z∈C，作图如图：

所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝22－1. 2．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z－3|2＋|z－2i|2的最大值和最小值．

解：如图所示，在圆面上任取一点P，与复数zA＝3，zB＝2i对应点A，B相连，得向――→――→――→――→量PA，PB，再以PA，PB为邻边作平行四边形．

P为圆面上任一点，zP＝z，

――→――→――→――→――→则2|PA|2＋2|PB|2＝|AB|2＋(2|PO′|)2＝7＋4|PO′|2，(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，

13所以|z－3|2＋|z－2i|2＝7＋4z－－i2. 22而z－433－imax＝|O′M|＋1＝1＋2，

2z－3－i＝|O′M|－1＝43－1. 22min所以|z－3|2＋|z－2i|2的最大值为27＋243，最小值为27－243.

层级一

学业水平达标

1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于(

) A．z－1

C．－10＋18i

B．z＋1 D．10－18i 解析：选C

1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i. 2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(

)

A．－2

C．3

B．4 D．－4 解析：选B

z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B. 3．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

解析：选B

z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．

4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(

) A．3

C．1

B．2 D．－1 解析：选D

z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1. ――→――→――→5．设向量OP，PQ，OQ对应的复数分别为z1，z2，z3，那么(

) A．z1＋z2＋z3＝0

C．z1－z2＋z3＝0

B．z1－z2－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 ――→――→――→解析：选D

∵OP＋PQ＝OQ，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0. 6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝__________，y＝__________. 解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i x＋4＝y－1，x＝6，∴解得

x＋y＝3x－1，y＝11.

答案：6

11 7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________. 解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝

答案：5 8．已知z1＝＝________. 解析：∵z1－z2＝33a＋33b＋(a－b－1)i＝43，a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝

223a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝43，则a＋b232＋42＝5. 3a＋33b＝43，由复数相等的条件知2

a－b－1＝0，

a＝2，解得∴a＋b＝3. b＝1.

答案：3 9．计算下列各式．

(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；

(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．

解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i. (2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i＝1 008－1 009i. 10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，

∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，

x＋3＝5，x＝2，∴解得

2－y＝－6，y＝8，

∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，

∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 层级二

应试能力达标

1．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(

) A．0

C.2

2B．1 1D.

2解析：选C

由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离即为2. 2――→2．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量Z1Z2对应的复数为(

) A．3＋4i

C．－2＋6i

B．5－2i D．2－6i ――→――→――→解析：选D

Z1Z2＝OZ2－OZ1，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋4i)＝2－6i. 3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(

) A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

解析：选A

由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．

――→――→4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应――→的复数分别是3＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是(

) A．2＋4i

C．－4＋2i

B．－2＋4i D．4－2i ――→――→――→――→解析：选D

依题意有CD＝BA＝OA－OB.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，故――→CD对应的复数为4－2i，故选D. 5．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________. 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝

∴x＋yi＋x2＋y2＝2＋i. 3x＝4，x＋x2＋y2＝2，3∴解得∴z＝＋i. 4y＝1，y＝1.x2＋y2.

3答案：＋i 4――→――→――→6．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋――→5i，那么BC对应的复数为________．

――→――→――→――→――→――→解析：BC＝OC－OB＝OC－(OA＋AB)＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i. 答案：4－4i 7．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. ――→――→――→(1)求向量AB，AC，BC对应的复数；

(2)判断△ABC的形状．

(3)求△ABC的面积．

――→解：(1)AB对应的复数为2＋i－1＝1＋i，

――→BC对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，

――→AC对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i. ――→――→――→(2)∵|AB|＝2，|BC|＝10，|AC|＝8＝22，

――→――→――→∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ ABC为直角三角形．

1(3)S△ABC＝×2×22＝2. 2

8．设z＝a＋bi(a，b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i，又ω＝sin θ－icos θ，求z的值和|z－ω|的取值范围．

解：∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i，∴6a＋2bi＝33＋i，

6a＝33，∴2b＝1，

a＝23，∴1b＝2.

∴z＝31＋i，

22∴z－ω＝＝3＋1i－(sin θ－icos θ) 223－sin θ＋1＋cos θi 223－sin θ2＋1＋cos θ2

22∴|z－ω|＝

＝

＝

2－3sin θ＋cos θ

2－23sin θ－1cos θ＝

22πθ－，

2－2sin6πθ－≤1，

∵－1≤sin6πθ－≤4，∴0≤|z－ω|≤2，

∴0≤2－2sin6故所求得z＝

31＋i，|z－ω|的取值范围是[0,2]．

22