阅读与思考 海伦和秦九韶优秀完整教案

§1.2

应用举例－海伦与秦九韶公式教学设计

一、教学内容与学情分析

本节课教学内容是，高中数学必修五第一章1.2解三角形应用举例“阅读思考海伦与秦九韶”.这是学生已经掌握三角形的相关面积公式的基础上来拓展学习的海伦与秦九韶公式，本班部分学生的运算能力较为薄弱，甚至有的同学对学习数学没有太大的兴趣.本节课的设计是为了提高班上同学对数学文化的了解和一题多解的数学认识，从一定程度上提高他们对数学的学习兴趣，也能启到培养学生发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的能力. 二、教学目标

(1)

理解海伦公式与三斜求积术公式的本质相同，证明三斜求积术公式. (2)

会用海伦与秦九韶公式，解决已知三角形三边求三角形面积这类数学问题. (3)

培养学生发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的能力，培养学生的猜想能力，发展学生的合情推理和概括能力. 三、教学重难点

(1)

重点：了解我国优秀的传统数学文化，增强民族自豪感和民族文化自信心;秦九韶公式的证明及应用. (2)

难点：秦九韶公式的证明与应用.

四、数学核心素养

这节课主要培养学生的抽象概括能力，逻辑推理能力，数学建模能力，运算求解能力. 五、教学过程

1、问题引领，合作探究. “我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261），在他的著作《算数九章》卷五“田域类

”里有这样一个题目：

“问有沙田一段三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知几何.”意思是已知一个三

角形的三边长分别为13里，14里，15里，则这个沙田的面积为多少？”

你能利用已学知识来解决这个数学问题吗？

这个问题的主要目的：①学生探讨，教师指导.

②培养学生的数学建模能力，运算能力，抽象概括能力.

③引出海伦公式.Sppapbpc

其中pabc

2

教师介绍：古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的

应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展

三角术是人们为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的

运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而

产生的.在解三角形问题中.一个比较困难的问题是如何由三

角形的三边a, b, c,直接求出三角形的面积.据说这个问题最

早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式:

Sppapbpc其中pabc

2但现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为

海伦公式. 总结：海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法

和思路，在已知三角形的三边而不知道高和角的情况下使用海伦公式

可以更快更简便的求出三角形面积. 2、学习中国文化，增强民族自信心

我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）在他的著作《算

数九章》也提到了与海伦公式等价的从三角形的三边求面积的公

式，他把这种方法称为“三斜求积”，《算数九章》中的求法是：

“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大

斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方的积.”如果把以上

这段文字写成公式，就是：

122c2a2b2

Sca422

教师介绍：

秦九韶，字道古.鲁郡（今河南范县）人.

中国古代数学家.南宋嘉定元年（1208年）生；约景定（1261年）被贬至梅州，咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世，时年61岁.《算数九章》

全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类

9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备.”正负开方术”和”大衍求一术”对数学发展产生了广泛的影响，他被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是

所以时代最伟大的数学家之一”.秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的成就之一，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W·G·Horner，1786—1837年）的同样解法早572年.

总结：从数学史角度看，世界上每一个民族都有自己的数学史，用自己本民族的语言叙述同一数学问题能从一定程度上提高学生的学习兴趣，同时让学生了解本民族的数学文化，增强对本民族数学文化的认同感，其次，让学生通过等式变形，学会知识间的融会贯通，感受数学变中之不变的美感，东西方数学家为数学的发展都作出应有的贡献，不同的表达方式，讲述了相同的内容，学生可从中感受数学统一性之美.

3、师生探究，公式证明. 古希腊数学家海伦运用平面知识，证明海伦面积公式.中国古代数学家秦九韶只给出公式，用来解决已知三角形三边求三角形面积这类问题的计算.你能通过已学知识给出秦九韶面积公式的证明吗？

教师介绍：证明方法有两种(1)用以下三个公式SABCa2b2c2coscsinc1，cosc.来证明海伦公式. 2ab221absinc，22(2)用三角形面积公式SABCah和方程思想来证明海伦公式. 12设计意图：通过海伦公式定理的证明，加强知识的综合运用，渗透从特殊到一般的数学思想，使学生认识到中西知识背后蕴藏的深刻文化意涵.

4、公式应用，体现价值. 例1：南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即

122c2a2b2caS422

若ABC的周长为225,且sinA:sinB:sinC21:5:21 用“三斜求积术”求

ABC面积=________;

例2：中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b,c.三角形的面积可由公式 Sppapbpc求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 则此三角形面积的最大值=_________.

六、师生小结

(1)

海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式：

Sppapbpc其中pabc

2(2)

秦九韶:南宋著名数学家，代表作《算数九章》''三斜求积术“已知三边长求三角形面积：

2222122cabca

S42七、思维深化，拓展延伸.

若将海伦公式推广到四边形，即设四边形ABCD的四边长分别为a ，b， c, d,则这个四边形的面积为：

Sppapbpcpd,其中pabcd.

2思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？

设计意图：这个问题可供有余力的学生课后钻研，提高自学能力.

八、课后作业

[针对训练]南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式

122c2a2b2即Sca422在ABC中，若AB13,BC14,AC15,D在AC上，且BD平分ABC则ABC的面积=________; BD=____________. [针对训练]南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式

122c2a2b2即Sca422已知ABC的三边分别a,b,c.面积为S.若a2sinC24sinA且

asinCsinBcb27a2sinA则 ABC的面积为=_______.

设计意图：加强学生对本节课知识的理解与回顾，培养学生的运算能力,学会知识之间的融会与贯通.