阅读与思考 海伦和秦九韶教案评析

海伦和秦九韶教学设计

湖南省永州市第一中学 廖高飞

一、

学习目标：

1、

掌握海伦公式和秦九韶公式的推导过程，会运用海伦公式和秦九韶公式解决实际问题。

2、了解古希腊文化和中国古代的数学文化。弘扬传统文化，增强民族自信。

二、

重难点预测：

1、海伦公式和秦九韶公式的证明和相互推导，以及公式的二种证明方法。

2、海伦公式和秦九韶公式的简单运用及其解题中思维的发散性。

三、预习资源：

1、秦九韶的历史影响（素材）（word文档）。

2、高等数学——海伦公式（素材）（word文档）。

四、互动探究：

1、在教学过程中，我与学生一起突破了本节课地的重难点——公式的推导。我将课堂的大部分时间交给学生，以学生为主体，让学生自主探究、合作学习，我只是从旁引导。学生达到了我的预期，甚至在上台展示推导过程的环节中，给了我一个很大的惊喜。其中一个学生顺着我的思路推到了我想要地结果。另一个学生并没有顺着我的思路进行推导，而是运用了勾股定理进行推导，这是我提前没有预料到的，所以学生真的有无限可能，我们应该给孩子们一个展现自我的平台，我们只需在旁及时跟正、引导就可以了。

2、由问题层层引入，让学生推导公式，然后再告诉学生这就是秦九韶的“三斜求积”公式和海伦公式，然后再引出他们的人物简介，接着再进行公式应用。这样可以提高学生的参与度，增加学生学习的积极性，增强学习的自信心。同时，以本节课作为一个铺垫，激起学生的求知欲，希望他们在课后去查阅资料进一步学习。

五、知识链接：

1、了解古希腊文化和古代中国的数学文化。对海伦和秦九韶进行了较为详细的介绍。弘扬传统文化，增强民族自信。

2、给出了两个素材。秦九韶的历史影响和高等数学——海伦公式。丰富了学生的数学素养，增强了民族自信。

六、学法指导：

1、由问题层层引入，让学生推导公式。我将课堂的大部分时间交给学生，以学生为主体，让学生自主探究、合作学习，我只是从旁引导。

2、一题多解，注重学生思维的发散性。

3、提高了学生计算能力。学生的计算问题还是一个存在并将长期存在地问题，我发现有的学生平方和开方都还不会、容易出错。在今后的教学中，我将继续关注这一问题，通过例题板书、计算技巧的教授、限时训练等手段，争取能够有效地提高学生的计算能力。

七、学习过程：（师生一起探究公式的推导以及一题多解的思维训练。）

1、在教学过程中，我与学生一起突破了本节课地的重难点——公式的推导。我将课堂的大部分时间交给学生，以学生为主体，让学生自主探究、合作学习，我只是从旁引导。学生达到了我的预期.

2、在证明的过程中，通过引导、启发学生，让他们探究用初中的平面几何知识结合勾股定理和代入消元的思想，训练学生的发散思维，一题多解，达到举一反三的效果。

一、问题探究

我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面积为多少？

二、公式证明

海伦公式：Sp(pa)(pb)(pc)，其中pabc

2122a2c2b22秦九韶公式（三斜求积术）：S[ac()]

42你能通过已学知识给出秦九韶(或海伦)面积公式的证明吗？

三、公式应用

例题

我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、122a2c2b22[ac()]．若B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S42a2sinC4sinA，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求△ABC的面积.

变式1：在ABC中，若a+b=12，c=8，请用海伦公式求ABC面积的最大值.

变式2：在ABC中，若b2，sinC3sinA，请用秦九韶公式（三斜求积术）求ABC面积的最大值.

四、课堂小结

海伦——秦九韶公式

海

伦：古希腊的数学家，代表作《测地术》、《测量仪器》、《度量术》等

Sp(pa)(pb)(pc)

秦九韶：南宋著名的数学家，代表作《数书九章》

122a2c2b22[ac()]

三斜求积术

S42

五、思维拓展

将海伦公式推广到四边形，设a，b，c，d，是四边形ABCD的各边长，记Sp(pa)(pb)(pc)(pd)，这里pabcd. 2问：这个公式对任意的四边形是否成立？

六、强化练习

1、定义一种四边形，四边长为整数，且它的面积也为整数的四边形，称之为海伦—秦九韶四边形．下列四边形中是海伦—秦九韶四边形的为（

）

2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这122c2a2b2ca段文字写成公式，即S42sinA:sinB:sinC2.现有周长为225的△ABC满足21:5:21，用以上给出的公式求得△ABC的面积为

.

